Fázový prostor

Fázový prostor je ve fyzice prostor, jehož body reprezentují možné stavy mechanického systému. V Hamiltonově mechanice je stav systému popsán dvojicí zobecněných souřadnic $q_{i}$ a jim příslušných zobecněných hybností $p_{i}$. Bod fázového prostoru se proto zapisuje ve tvaru

$(q_{1},\ldots ,q_{n},p_{1},\ldots ,p_{n}).$

Je-li konfigurační prostor systému $n$-rozměrný, má odpovídající fázový prostor v běžném případě bez dalších omezení dimenzi $2n$. Přesněji lze fázový prostor Hamiltonovského systému chápat jako kotečný svazek konfiguračního prostoru.

Vývoj systému v čase odpovídá křivce ve fázovém prostoru. Tato křivka se nazývá fázová trajektorie a je určena řešením pohybových rovnic, například Hamiltonových rovnic.

Příklad

Fázový prostor jednoho hmotného bodu pohybujícího se v trojrozměrném prostoru má dimenzi 6. Tři souřadnice odpovídají složkám polohového vektoru $x,y,z$ a další tři složkám hybnosti $p_{x},p_{y},p_{z}$.

Obecně pro systém s $n$ stupni volnosti tvoří lokální souřadnice fázového prostoru dvojice

$(q_{1},\ldots ,q_{n},p_{1},\ldots ,p_{n}).$

Přirozený objemový element fázového prostoru má v těchto souřadnicích tvar

$\mathrm {d} \Gamma =\mathrm {d} q_{1}\cdots \mathrm {d} q_{n}\,\mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{n}.$

Konzervativní systémy

V konzervativním Hamiltonovském systému je energie zachována. Fázová trajektorie proto leží na energetické nadploše určené rovnicí

$H(q,p)=E,$

kde $H$ je Hamiltonova funkce systému.

Podle Liouvilleovy věty se při časovém vývoji Hamiltonovského systému zachovává fázový objem.

Fázový prostor a konfigurační prostor

Konfigurační prostor popisuje možné polohy systému. Fázový prostor obsahuje kromě poloh také odpovídající hybnosti, a proto poskytuje úplnější popis okamžitého stavu systému. Například samotná poloha částice nestačí k určení jejího dalšího pohybu; je třeba znát také její hybnost nebo rychlost.

Použití

Fázový prostor se používá v klasické mechanice, statistické mechanice a teorii dynamických systémů. Umožňuje popisovat vývoj systému geometricky jako pohyb bodu nebo množiny bodů ve fázovém prostoru.

V disipativních dynamických systémech se mohou ve fázovém prostoru objevovat atraktory. U konzervativních Hamiltonovských systémů je situace odlišná, protože zachování fázového objemu podle Liouvilleovy věty vylučuje běžný kolaps oblasti fázového prostoru do atraktoru.

Odkazy

Související články

• Konfigurační prostor
• Hamiltonova mechanika
• Hamiltonovy rovnice
• Kanonická transformace
• Liouvilleova věta
• Statistická mechanika

Literatura

• GOLDSTEIN, Herbert, Poole, Charles; Safko, John. Classical Mechanics. 3.. vyd. [s.l.]: Addison-Wesley, 2002. 
• ARNOLD, Vladimir I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. [s.l.]: Springer, 1989. 
• LANDAU, Lev Davidovič, Lifšic, Jevgenij Michajlovič. Mechanika. [s.l.]: Nauka, 1988. 

Reference

Autoritní data	PSH: 3184 BNF: cb12264248j (data) GND: 4139912-2 LCCN: sh86000676 NLI: 987007539059805171 SUDOC: 03142614X

Portály: Fyzika