Kartézská soustava souřadnic

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Kartézská soustava souřadnic je taková soustava souřadnic, u které jsou souřadné osy vzájemně kolmé přímky, které se protínají v jednom bodě - počátku soustavy souřadnic. Jednotka se obvykle volí na všech osách stejně velká. Jednotlivé souřadnice polohy tělesa je možno dostat jako kolmé průměty polohy k jednotlivým osám.

V prostoru má kartézská soustava souřadnic 3 vzájemně kolmé osy (běžně označované x, y, z), v rovině 2 kolmé osy (x, y).

Historie[editovat | editovat zdroj]

Soustava je pojmenována podle francouzského matematika a filosofa Descarta (1596-1650), latinsky Cartesius (proto „kartézská“), který se zasloužil (kromě jiného) o propojení algebry a eukleidovské geometrie. Nezávisle na tom byly souřadnice objeveny i matematikem Pierre de Fermatem, který také uvažoval ve třech dimenzích, svůj objev ale nepublikoval. Ještě před objevem Descerta a Fermata byly ve Francii používány konstrukce podobné kartézským souřadnicím a to duchovním jménem Nicole Oresme.

Pravotočivá a levotočivá soustava prostorových kartézských souřadnic[editovat | editovat zdroj]

Pravidlo pravé ruky

Představte si, že v místě, kde stojíte, je počátek prostorové kartézské soustavy. Osa x nechť směřuje přímo vpřed (směrem, kterým se díváte), osa y nechť směřuje vlevo a osa z nechť směřuje vzhůru. Taková soustava se nazývá pravotočivá souřadná soustava. Příklad pravotočivé soustavy je na obrázku.

Určení, zda je soustava pravotočivá či levotočivá, usnadňuje pravidlo pravé ruky.

Zaměníme-li osy x a y, získáme souřadnou soustavu levotočivou.

Obvykle se pracuje s pravotočivou souřadnou soustavou.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Číselná osa[editovat | editovat zdroj]

Nejjednodušší kartézskou soustavou je číselná osa. Jedinou souřadnicí každého bodu je jeho vzdálenost od počátku. Zápis je jednoduchý - například A[0] nebo L[-5]. Je potřeba brát ohled na znaménko.

Dvě dimenze - rovina[editovat | editovat zdroj]

Body v rovinné kartézské soustavě souřadnic

V rovině tvoří kartézskou soustavu dvě vzájemně kolmé osy, které se protínají v počátku. Souřadnicemi bodu jsou jeho vzdálenosti od osy y (souřadnice x, vodorovná, abscissa) a od osy x (souřadnice y, svislá, ordináta). V obrázku jsou zakresleny tři body se svými souřadnicemi, které se obvykle zapisují ve tvaru (x, y), dají se tedy chápat také jako vektory, orientované úsečky spojující počátek s body. Délka vektoru čili vzdálenost bodu od počátku se vypočte pomocí Pythagorovy věty.

V matematice, fyzice a strojírenství je první osa obvykle definována nebo znázorněna jako vodorovná a orientovaná doprava a druhá osa je svislá, orientovaná směrem vzhůru. Původ je často označen jako 0 a dvě souřadnice jsou často označena písmeny X a Y nebo x a y. Osy pak mohou být označovány jako osa X a osa Y. Výběr písmen pochází z původní konvence, která má použít druhou část abecedy pro označení neznámých hodnot. První část abecedy byla použita k označení známých hodnot. Ve vztahu k osám x,y je poloha libovolného bodu v dvourozměrném prostoru dána uspořádanou dvojicí reálných čísel, přičemž každé číslo udává vzdálenost tohoto bodu od počtu jednotek měřených podél dané osy. Souřadnice jsou obvykle psány jako dvě čísla v závorkách A[a1;a2] - bod A [souřadnice na ose x, souřadnice na ose y].

Obě osy rozdělí rovinu na čtyři pravé úhly, oblasti nazvané kvadranty. Kvadrant může být pojmenován nebo číslován různými způsoby, ale kvadrant, kde jsou všechny souřadnice kladné, se nazývá první kvadrant.

Bod v prostorové pravotočivé kartézské soustavě souřadnic

Dalším široce používaným souřadnicovým systémem je polární souřadnicový systém, kde hraje roli vzdálenost od počátku a úhel.

Tři dimenze[editovat | editovat zdroj]

V (třírozměrném) eukleidovském prostoru tvoří kartézskou soustavu souřadnic tří navzájem kolmé osy, protínající se v počátku [0,0,0]. Stejně jako v dvojrozměrném případě se každá osa stává číselnou čárou. Pro libovolný bod prostoru se jedná o rovinu, která je kolmá ke každé ose souřadnic v konkrétním místě. Kartézskými souřadnicemi jsou tři čísla ve zvoleném pořadí.

Neexistují standardní názvy souřadnic ve třech osách (někdy se však používají výrazy abscissa, ordinate a applicate). Souřadnice jsou často označeny písmeny X, Y, Z (nebo x, y, z). Pak se podle toho mohou označovat roviny XY-, YZ- a -XZ.

V matematice a fyzice jsou první dvě osy často definovány nebo zobrazovány jako horizontální, přičemž třetí osa směřuje nahoru. V takovém případě může být třetí souřadnice označována jako výška/nadmořská výška.

Bod v třírozměrném prostoru značíme A[a1;a2;a3]. Místo písmene A můžeme vybrat jakékoli písmeno. Například bod K ležící na souřadnicích [1;2;3]. Souřadnice bodu jsou jeho vzdálenosti od tří rovin, které se protínají v osách x, y, z. Podle toho, v jakém pořadí se osy uvádějí, se někdy rozlišuje pravotočivá a levotočivá soustava souřadnic.

Kvadranty a oktanty[editovat | editovat zdroj]

Čtyři kvadranty v kartézské soustavě souřadnic

Osy dvojrozměrného kartezského systému rozdělují rovinu na čtyři nekonečné oblasti tzv. kvadranty, které jsou ohraničeny ze stran poloosami. Kvadranty jsou značené římskými číslicemi a proti směru hodinových ručiček, začíná se od pravého horního ("severovýchodního") kvadrantu, viz. obrázek napravo.

V každém z kvadrantů je x,y kladné nebo záporné: I (+, +), II (-, +), III (-, -) a IV (+, -).

Podobně rozdělení je i u trojrozměrného systému. Prostor se akorát dělí do osmi částí - oktantů. Pojmenování určitého oktantu je vypsána jeho znaky, např. (+ + +) nebo (- + -).

Zobecnění kvadrantu a oktantu na libovolný počet rozměrů je anglicky orthant a platí pro něj obdobný pojmenovací systém.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]