Sférická soustava souřadnic

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Sférická soustava souřadnic (kulová soustava souřadnic) je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna souřadnice (označovaná r) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná \varphi) udává úhel odklonu průvodiče bodu od osy x a třetí souřadnice (označovaná \theta) úhel mezi průvodičem a osou z.

Sférická soustava souřadnic je vhodná v případech takových problémů, které mají sférickou symetrii. Tyto mají zpravidla ve sférických souřadnicích podstatně jednodušší tvar.

Bod ve sférické soustavě souřadnic.

Transformace sférických souřadnic na kartézské:

x = r \sin{\theta} \cos{\varphi}
y = r \sin{\theta} \sin{\varphi}
z = r \cos{\theta}\,


Převod kartézských souřadnic na sférické:

r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},
\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),
\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right),

kde arctg2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens. Úhly volíme v rozsahu 0\leq\theta\leq\pi a 0\leq\varphi<2\pi.


Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou ve sférických souřadnicích.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Logo Wikimedia Commons
Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu