Jacobiho matice je matice parciálních derivací vektorové funkce. Pokud je tato matice čtvercová, nazýváme její determinant Jacobiho determinant (také jacobián ). Tento determinant je rozsáhle využíván ve výpočtech vícerozměrných integrálů .
Oba pojmy získaly své jméno od slavného matematika Carla Gustava Jacoba Jacobiho .
Nechť
f
→
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle {\vec {f}}:R^{n}\rightarrow R^{m}}
, Jacobiho maticí
J
{\displaystyle J}
nazveme matici
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
následujícího tvaru:
J
=
(
∂
f
1
∂
x
1
∂
f
1
∂
x
2
⋯
∂
f
1
∂
x
n
∂
f
2
∂
x
1
∂
f
2
∂
x
2
⋯
∂
f
2
∂
x
n
⋮
⋮
⋱
⋮
∂
f
m
∂
x
1
∂
f
m
∂
x
2
⋯
∂
f
m
∂
x
n
)
{\displaystyle J={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}}
.
Pokud
m
=
n
{\displaystyle m=n}
, je Jacobiho matice čtvercová a její determinant se nazývá Jacobiho determinant funkce
f
→
{\displaystyle {\vec {f}}}
.
Pokud je funkce
f
→
{\displaystyle {\vec {f}}}
v bodě
x
→
∈
R
n
{\displaystyle {\vec {x}}\in R^{n}}
diferencovatelná , pak Jacobiho matice definuje lineární zobrazení
L
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle L:R^{n}\rightarrow R^{n}}
, které je nejlepší lineární aproximací funkce
f
→
{\displaystyle {\vec {f}}}
v blízkosti bodu
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
. Toto lineární zobrazení je zobecnění derivace a nazývá se derivace nebo diferenciál funkce
f
→
{\displaystyle {\vec {f}}}
v bodě
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
.
Jacobiho matice je zobecnění gradientu (a pro
m
=
1
{\displaystyle m=1}
je rovna gradientu). Jacobiho matice vlastně vyjadřuje míru změny v daném místě.
Důležité informace o chování funkce nese také Jacobiho determinant. Konkrétně, funkce
f
→
{\displaystyle {\vec {f}}}
má v okolí bodu
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
diferencovatelnou inverzní funkci právě tehdy, pokud je Jacobiho determinant v bodě
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
nenulový. S tímto také souvisí dosud nedokázaná Jacobiho domněnka.
Jacobiho matice se používá k lineárním aproximacím . Její vlastní čísla a vlastní vektory také určují chování určitých dynamických systémů .
Jacobián je užitečný při substituci ve výpočtech vícerozměrných integrálů.
Mějme funkci
f
→
:
R
2
→
R
2
{\displaystyle {\vec {f}}:R^{2}\rightarrow R^{2}}
určenou vztahem
f
→
(
x
,
y
)
=
(
x
2
y
5
x
+
sin
y
)
{\displaystyle {\vec {f}}(x,y)={\begin{pmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{pmatrix}}}
.
Potom platí
f
1
(
x
,
y
)
=
x
2
y
{\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}y}
a
f
2
(
x
,
y
)
=
5
x
+
sin
y
{\displaystyle f_{2}(x,y)=5x+\sin y}
.
Jacobiho matice je tedy
J
f
→
(
x
,
y
)
=
(
∂
f
1
∂
x
∂
f
1
∂
y
∂
f
2
∂
x
∂
f
2
∂
y
)
=
(
2
x
y
x
2
5
cos
y
)
{\displaystyle J_{\vec {f}}(x,y)={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{pmatrix}}}
a Jacobiho determinant se rovná
det
(
J
f
→
(
x
,
y
)
)
=
2
x
y
cos
y
−
5
x
2
.
{\displaystyle \det(J_{\vec {f}}(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.}
Pokusme se nyní vypočítat Jacobián polárních souřadnic . Ty jsou zavedené následujícími vztahy:
x
=
ϱ
cos
φ
{\displaystyle x=\varrho \cos \varphi }
y
=
ϱ
sin
φ
{\displaystyle y=\varrho \sin \varphi }
, kde
ϱ
∈
R
+
{\displaystyle \varrho \in R^{+}}
a
φ
∈
(
0
,
2
π
)
{\displaystyle \varphi \in (0,2\pi )}
.
Platí tedy:
J
(
ϱ
,
φ
)
(
x
,
y
)
=
{\displaystyle J_{(\varrho ,\varphi )}(x,y)=}
|
∂
x
∂
ϱ
∂
x
∂
φ
∂
y
∂
ϱ
∂
y
∂
φ
|
{\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \varrho }}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \varrho }}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}}
=
{\displaystyle =}
|
cos
φ
−
ϱ
sin
φ
sin
φ
ϱ
cos
φ
|
{\displaystyle {\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\varrho \sin \varphi \\\sin \varphi &\varrho \cos \varphi \end{vmatrix}}}
=
ϱ
{\displaystyle =\varrho }
.
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Jacobian matrix and determinant na anglické Wikipedii.
Krbálek, Milan. Matematická analýza IV. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2009, 252 s. ISBN 978-80-01-04315-8 .