Biangulární souřadnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Biangulární souřadnice jsou soustava souřadnic v rovině určená úsečkou, kde poloha bodu je určena dvěma úhly. Tento typ souřadnic jako první zkoumal Lazare Nicholas Marguerite Carnot, který své výsledky publikoval v roce 1803.[1]

Poloha bodu[editovat | editovat zdroj]

V rovině je dána úsečka . Pak poloha každého bodu v této rovině (s výjimkou bodů ležících na přímce ) je jednoznačně dána úhly a .

Polohu bodů na přímce nelze určit, jelikož úhly a pro různé body jsou stejné - nulové nebo přímé (180°).

Zaměření bodu v biangulárních souřadnicích[editovat | editovat zdroj]

Máme bod, zvaný , v rovině a chceme jej vyjádřit v této soustavě.

Definice bodu c úhlovými souřadnicemi α a β v rovině.

Zvolme v rovině úsečku , jejíž délka je jednotková. Oba krajní body této úsečky spojme s bodem .

Najdeme úhly a , odpovídajíci úhlům a v tomto pořadí.

Úsečka a úhly a tak určují polohu bodu v nové soustavě souřadnic a úhly a jsou těmito souřadnicemi.

Převod na souřadnice kartézské[editovat | editovat zdroj]

a pro zpětný převod souřadnic x-y na α - β použijeme rovnice:

kde arctg2 je zobecnění funkce arkus tangens často užívané při inverzích vztahů v rovině.

Rovnice kuželoseček v úhlových souřadnicích[editovat | editovat zdroj]

V úhlových souřadnicích se dá jednoduše vyjádřit rovnice jistých kuželoseček v rovině.

Rovnice elipsy: Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \operatorname {tg\ } \beta ={\frac {1}{\operatorname {tg\ } \alpha }}+1,5}

Rovnice paraboly: Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \operatorname {tg\ } \beta ={\frac {1}{\operatorname {tg\ } \alpha }}+2}

Rovnice hyperboly: Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \operatorname {tg\ } \beta ={\frac {1}{\operatorname {tg\ } \alpha }}+3}

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Michael Naylor and Brian Winkel: Biangular Coordinates Redux: Discovering a New Kind of Geometry College Mathematics Journal 41:1 September 12, 2009, s. 31