Pohyb po kružnici

Pohyb po kružnici je pohybem tělesa (nebo zjednodušeně hmotného bodu), jehož trajektorií je kružnice. Je nejjednodušším křivočarým pohybem.

Poloha

Poloha hmotného bodu při pohybu po kružnici se středem v počátku soustavy souřadnic se zápis v polární soustavě souřadnic jako:

$r=\mathrm {konst.}$

$\varphi =\varphi (t-t_{0})+\varphi _{0}$

nebo v kartézské soustavě souřadnic:

$x=r\cos(\varphi (t-t_{0})+\varphi _{0})$

$y=r\sin(\varphi (t-t_{0})+\varphi _{0})$

kde r je poloměr kružnice, φ(t) je úhlová dráha, což je úhel, který za čas t opíše spojnice středu dráhy a pohybujícího se bodu (průvodič) a φ₀ je úhlová dráha v počátečním čase t₀. Při pohybu se s časem mění pouze úhel φ, poloměr dráhy je konstantní.

U dráhy při pohybu po kružnici se rozlišuje obvodová dráha a úhlová dráha. Obvodová dráha s je vzdálenost, kterou urazí hmotný bod během pohybu po obvodu kružnice. Úhlová dráha φ je úhel, který urazí průvodič hmotného bodu během pohybu.

Mezi úhlovou dráhou a obvodovou dráhou je vztah:

$\varphi ={\frac {s}{r}}$

Rychlost rovnoměrného pohybu

Při rovnoměrém pohybu po kružnici (velikost rychlosti se nemění) se rozlišuje obvodová rychlost a úhlová rychlost. Kromě toho lze počítat okamžitou rychlost nebo průměrnou rychlost. Vektor obvodové rychlosti má směr tečny k trajektorii, tedy kružnici.

Okamžitá úhlová rychlost se rovná první derivaci úhlové dráhy $\varphi$ podle času $t$.

$\omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}$

Průměrná úhlová rychlost se rovná podílu celkové úhlové dráhy $\varphi$ a celkového času $t$.

$\omega ={\frac {\varphi }{t}}$

Okamžitá obvodová rychlost se rovná první derivaci dráhy $s$ podle času $t$

$v={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}$

Průměrná obvodová rychlost se rovná podílu celkové dráhy $s$ a celkového času $t$

$v={\frac {s}{t}}$

Vztah mezi úhlovou rychlostí a obvodovou rychlostí

$\omega ={\frac {v}{r}}$,

kde $r$ je poloměr kružnice.

Perioda a frekvence pohybu

Perioda vyjadřuje dobu, za kterou hmotný bod opíše kružnici právě jednou a její jdnotkou je 1 sekunda.

$T={\frac {2\pi }{\omega }}$

nebo

$T={\frac {2\pi r}{v}}$

Frekvence určuje počet kružnic, které hmotný bod urazí za jednotku času. Její jednotkou je 1 Hertz, rozměrově je to 1 s⁻¹.

$f={\frac {\omega }{2\pi }}$

nebo

$f={\frac {v}{2\pi r}}$

Síly při pohybu po kružnici

Dostředivé zrychlení je dle druhého Newtonova pohybového zákona, zákona síly, vyvoláno dostředivou silou, jejíž směr je do středu kružnice a jejíž velikost se nemění. Z 2. Newtonova zákona je velikost dostředivé síly $F_{d}$:

$F_{d}=m\omega ^{2}r$

nebo

$F_{d}={\frac {mv^{2}}{r}}$

kde $m$ je hmotnost tělesa (hmotného bodu).

Dostředivá a odstředivá síla

Odstředivé síla má stejnou velikost jako je velikost dostředivé síly, ale působí směrem od středu kružnice. Obě síly působí v jiných soustavách – dostředivá v inerciální vztažné soustavě, odstředivá v neinerciální vztažné soustavě. Odstředivá síla se řadí do setrvačných sil, proto je její název též setrvačná odstředivá síla. Tato síla působí na tělesa, která mají setrvačné zrychlení, což je zrychlení, které není způsobeno silami uvnitř soustavy, ale vlastním pohybem celé soustavy.

Pro pohyb po kružnici je vhodné popsat tento jev pomocí dítěte na řetízkovém kolotočei nebo centrifuze. Z pohledu pozorovatele na zemi (např. rodiče), který v inerciální vztažné soustavě, se sedačka s dítětem dala do pohybu po kružnici prostřednictvím dostředivá síla. Reakcí na tuto sílu je síla odstředivá, která napíná řetízek, na kterém je sedačka upevněná. Každá z těchto sil působí na jiné těleso, proto se nevyruší.

Z pohledu dítěte na sedačce, které je ve zrychlující soustavě, takže v neinerciální vztažné soustavě, bude situace jiná. Vůči sedačce je v klidu, ale z důvodu pojybu celé soustavy na něj působí síla dostředivá. Protože je ale vůči sedačce v klidu, musí být dostředivá síla nějakou jinou silou kompenzována. Výslednice sil totiž musí být v jejich směru nulová. Tato síla musí působit také na sedačku (dítě), mít stejnou velikost jako síla dostředivá, jen směr působení je opačný. Síla se nazývá setrvačná odstředivá a její působení nelze vysvětlit vlivem žádného tělesa uvnitř soustavy (na dítě nikdo netlačí apod.).

Celý jev je způsoben pohledem různých pozorovatelů, kdy každý he v jiné vztažné soustavyě. Setrvačná odstředivá síla má stejnou velikost jako dostředivá síla, ale opačný směr. Tyto síly se ovšem navzájem nevyruší, protože každá působí na jiné těleso. Dostředivá působí prostřednictváím řětězu na sedačku a odstředivá na dítě.

Zrychlení při pohybu po kružnici

Při pohybu po kružnici se rychlost, která je vektorovou veličinou neustále mění, protože se mění směr vektoru rychlosti. Může se ale měnit i hodnota rychlosti. Tento jev nazýváme nerovnoměrným pohybem po kružnici.

Změnu směru vyjadřuje dostředivé zrychlení, které je vektorem a míří do středu kružnice. Protože směr dostředivého zrychlení je neustále kolmý na směr rychlosti, označuje se také jako normálové zrychlení nebo normálová složka zrychlení. Změnu velikosti rychlosti popisuje tečné zrychlení nebo tečná složka zrychlení. Změnu úhlové rychlosti vyjadřuje veličina úhlové zrychlení značené $\varepsilon$.

Dostředivé zrychlení se vypočte vztahem:

$a_{d}=\omega ^{2}r$,

kde $\omega$ je úhlová rychlost a $r$ je poloměr kružnice, ekvivalentním vztahem je:

$a_{d}={\frac {v^{2}}{r}}$

kde $v$ je obvodová rychlost.

Tečné zrychlení $a_{t}$ se rovná první derivaci obvodové rychlosti $v$ podle času $t$ nebo druhé derivaci obvodové dráhy $s$ podle času $t$

$a_{t}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}$

nebo

$a_{t}={\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}$

Celkové zrychlení se rovno vektorovému součtu normálového a tečného zrychlení, jeho velikost se vypočte podle vztahu:

$a={\sqrt {a_{d}^{2}+a_{t}^{2}}}$

Úhlové zrychlení $\varepsilon$ se rovná první derivaci úhlové rychlosti $\omega$ podle času $t$ nebo druhé derivaci úhlové dráhy $\varphi$ podle času $t$:

$\varepsilon ={\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}$

nebo

$\varepsilon ={\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} t^{2}}}$

Vektorový zápis téhož:

${\vec {a_{t}}}={\vec {\varepsilon }}\times {\vec {r}}$

${\vec {a_{n}}}={\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$

Odkazy

Související články

• Rovnoměrný pohyb po kružnici
• Nerovnoměrný pohyb po kružnici
• Dostředivá síla
• Odstředivá síla
• Odstředivé zrychlení
• úhlová rychlost
• obvodová rychlost

Externí odkazy

• http://www.kinematika.wz.cz/ – Freeware program na popis pohybu po kružnici z hlediska kinematiky v češtině