Seznam integrálů exponenciálních funkcí

Seznamy integrálů

Tabulka integrálů elementárních funkcí
racionální funkce
iracionální funkce
exponenciální funkce
logaritmické funkce
trigonometrické funkce
inverzní trigonometrické funkce
hyperbolické funkce
inverzní hyperbolické funkce

Toto je seznam integrálů (primitivních funkcí) exponenciálních funkcí.

$\int e^{cx}\;\mathrm{d}x = \frac{1}{c} e^{cx}$

$\int a^{cx}\;\mathrm{d}x = \frac{1}{c \ln a} a^{cx} \qquad\mbox{(pro } a > 0,\mbox{ }a \ne 1\mbox{)}$

$\int xe^{cx}\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)$

$\int x^2 e^{cx}\;\mathrm{d}x = e^{cx}\left(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3}\right)$

$\int x^n e^{cx}\; \mathrm{d}x = \frac{1}{c} x^n e^{cx} - \frac{n}{c}\int x^{n-1} e^{cx} \mathrm{d}x$

$\int\frac{e^{cx}\; \mathrm{d}x}{x} = \ln|x| +\sum_{i=1}^\infty\frac{(cx)^i}{i\cdot i!}$

$\int\frac{e^{cx}\; \mathrm{d}x}{x^n} = \frac{1}{n-1}\left(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int\frac{e^{cx} }{x^{n-1}}\,\mathrm{d}x\right) \qquad\mbox{(pro }n\neq 1\mbox{)}$

$\int e^{cx}\ln x\; \mathrm{d}x = \frac{1}{c}e^{cx}\ln|x|-\operatorname{Ei}\,(cx)$

$\int e^{cx}\sin bx\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx - b\cos bx)$

$\int e^{cx}\cos bx\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx + b\sin bx)$

$\int e^{cx}\sin^n x\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}\sin^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\sin^{n-2} x\;\mathrm{d}x$

$\int e^{cx}\cos^n x\; \mathrm{d}x = \frac{e^{cx}\cos^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\cos^{n-2} x\;\mathrm{d}x$

$\int x e^{c x^2 }\; \mathrm{d}x= \frac{1}{2c} \; e^{c x^2}$

$\int {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 / 2\sigma^2}}\; dx= \frac{1}{2 \sigma} (1 + \mbox{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}})$

$\int e^{x^2}\,\mathrm{d}x = e^{x^2}\left( \sum_{j=0}^{n-1}c_{2j}\,\frac{1}{x^{2j+1}} \right )+(2n-1)c_{2n-2} \int \frac{e^{x^2}}{x^{2n}}\;\mathrm{d}x \quad \mbox{platí pro } n > 0,$

kde $c_{2j}=\frac{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2j-1)}{2^{j+1}}=\frac{2j\,!}{j!\, 2^{2j+1}} \ .$

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\pi \over a}$ (Gaussův integrál)

$\int_{0}^{\infty} x^{2n} e^{-{x^2}/{a^2}}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\pi} {(2n)! \over {n!}} {\left (\frac{a}{2} \right)}^{2n + 1}$

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} \mathrm{d} \theta = 2 \pi I_{0}(x)$ ($I_{0}$ je modifikovaná Besselova funkce prvního druhu)

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} \mathrm{d} \theta = 2 \pi I_{0} \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)$