Besselova funkce

Besselovou funkcí je označováno řešení Besselovy rovnice

$z^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+z{\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}+(z^{2}-\nu ^{2})w(z)=0$$z^2 \frac{\mathrm{d}^2 w(z)}{\mathrm{d}z^2} + z \frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z} + (z^2 - \nu^2)w(z) = 0$

pro libovolné reálné číslo $\nu$$\nu$, které je označováno jako řád Besselovy funkce.

Cylindrické funkce

Cylindrickou funkcí se nazývá libovolné řešení Besselovy rovnice

Besselova funkce

Není-li $\nu$$\nu$ celé číslo, pak lze obecné řešení Besselovy rovnice zapsat jako

$w(z)=c_{1}J_{\nu }(z)+c_{2}J_{-\nu }(z)$$w(z)=c_{1}J_{\nu }(z)+c_{2}J_{-\nu }(z)$,

kde $J_{\nu }(z)$$J_{\nu }(z)$ a $J_{-\nu }(z)$$J_{-\nu }(z)$ jsou lineárně nezávislé Besselovy funkce a $c_{1},c_{2}$$c_{1},c_{2}$ jsou libovolné konstanty.

Besselovy funkce bývají také nazývány Besselovými funkcemi prvního druhu.

Besselova funkce řádu $\nu$$\nu$ je definována vztahem

$J_{\nu }(z)={\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{k}}{{k!}\Gamma (\nu +k+1)}}{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{2k}$$J_{\nu }(z)={\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{k}}{{k!}\Gamma (\nu +k+1)}}{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{2k}$,

kde $\Gamma (x)$$\Gamma (x)$ je gama funkce.

Je-li $\nu =n$$\nu =n$ celé číslo, pak platí

$J_{-n}(z)={(-1)}^{n}J_{n}(z)$$J_{-n}(z)={(-1)}^{n}J_{n}(z)$,

výše uvedená řešení tedy nejsou v tomto případě nezávislá.

Pro $n=0,1,2,...$$n=0,1,2,...$ lze Besselovu funkci vyjádřit v integrálním tvaru

$J_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(z\sin \theta -n\theta )\mathrm {d} \theta$$J_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(z\sin \theta -n\theta )\mathrm {d} \theta$

Platí následující rekurentní vztahy

$2\nu J_{\nu }(z)=zJ_{\nu -1}(z)+zJ_{\nu +1}(z)$$2\nu J_{\nu }(z)=zJ_{\nu -1}(z)+zJ_{\nu +1}(z)$

$2J_{\nu }^{\prime }(z)=J_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z)$$2J_{\nu }^{\prime }(z)=J_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z)$

$zJ_{\nu }^{\prime }(z)=\nu J_{\nu }(z)-zJ_{\nu +1}(z)$$zJ_{\nu }^{\prime }(z)=\nu J_{\nu }(z)-zJ_{\nu +1}(z)$

$zJ_{\nu }^{\prime }(z)=-\nu J_{\nu }(z)+zJ_{\nu -1}(z)$$zJ_{\nu }^{\prime }(z)=-\nu J_{\nu }(z)+zJ_{\nu -1}(z)$

Neumannova funkce

Je-li $\nu =n$$\nu =n$ celé číslo, pak $J_{n}(z)$$J_{n}(z)$ a $J_{-n}(z)$$J_{-n}(z)$ nejsou lineárně nezávislé. V takovém případě má obecný integrál tvar

$w(z)=c_{1}J_{n}(z)+c_{2}N_{n}(z)$$w(z)=c_{1}J_{n}(z)+c_{2}N_{n}(z)$,

kde $N_{n}(z)$$N_{n}(z)$ je tzv. Neumannova funkce (někdy též Weberova funkce), které jsou také řešením Besselovy rovnice.

Pro Neumannovy funkce se používá označení Besselovy funkce druhého druhu.

Neumannovy funkce jsou pro celočíselná $\nu =n$$\nu =n$ definovány vztahem

$N_{n}(z)=\lim _{\nu \to n}{\frac {J_{\nu }(z)\cos \nu \pi -J_{-\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}$$N_{n}(z)=\lim _{\nu \to n}{\frac {J_{\nu }(z)\cos \nu \pi -J_{-\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}$

Pro $\nu$$\nu$ různé od celého čísla je pak Neumannova funkce definována vztahem

$N_{\nu }(z)={\frac {J_{\nu }(z)\cos \nu \pi -J_{-\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}$$N_{\nu }(z)={\frac {J_{\nu }(z)\cos \nu \pi -J_{-\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}$

Je-li $\nu =n$$\nu =n$ celé číslo, pak platí

$N_{-n}(z)={(-1)}^{n}N_{n}(z)$$N_{-n}(z)={(-1)}^{n}N_{n}(z)$

Mezi Besselovými a Neumannovými funkcemi platí vztah

$J_{\nu }(z)N_{\nu +1}(z)-J_{\nu +1}(z)N_{\nu }(z)=-{\frac {2}{\pi z}}$$J_{\nu }(z)N_{\nu +1}(z)-J_{\nu +1}(z)N_{\nu }(z)=-{\frac {2}{\pi z}}$

Platí následující rekurentní vztahy

$2\nu N_{\nu }(z)=zN_{\nu -1}(z)+zN_{\nu +1}(z)$$2\nu N_{\nu }(z)=zN_{\nu -1}(z)+zN_{\nu +1}(z)$

$2N_{\nu }^{\prime }(z)=N_{\nu -1}(z)-N_{\nu +1}(z)$$2N_{\nu }^{\prime }(z)=N_{\nu -1}(z)-N_{\nu +1}(z)$

$zN_{\nu }^{\prime }(z)=\nu N_{\nu }(z)-zN_{\nu +1}(z)$$zN_{\nu }^{\prime }(z)=\nu N_{\nu }(z)-zN_{\nu +1}(z)$

$zN_{\nu }^{\prime }(z)=-\nu N_{\nu }(z)+zN_{\nu -1}(z)$$zN_{\nu }^{\prime }(z)=-\nu N_{\nu }(z)+zN_{\nu -1}(z)$

Hankelova funkce

Důležitými cylindrickými funkcemi jsou tzv. Hankelovy funkce $H_{\nu }^{(1)}(z)$$H_{\nu }^{(1)}(z)$ a $H_{\nu }^{(2)}(z)$$H_{\nu }^{(2)}(z)$, které jsou definovány jako

$H_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+\mathrm {i} N_{\nu }(z)$$H_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+\mathrm {i} N_{\nu }(z)$

$H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-\mathrm {i} N_{\nu }(z)$$H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-\mathrm {i} N_{\nu }(z)$

Hankelova funkce bývá také označována jako Besselova funkce třetího druhu.

Sférické cylindrické funkce

Sférickou cylindrickou funkcí nazveme každé řešení rovnice

$z^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+2z{\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}+\left[z^{2}-l(l+1)\right]w(z)=0$$z^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+2z{\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}+\left[z^{2}-l(l+1)\right]w(z)=0$

pro celá nezáporná $l$$l$.

Za dvě nezávislá řešení lze zvolit sférickou Besselovu funkci

$j_{l}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}J_{l+{\frac {1}{2}}}(z)$$j_{l}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}J_{l+{\frac {1}{2}}}(z)$

a sférickou Neumannovu funkci

$n_{l}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}N_{l+{\frac {1}{2}}}(z)={(-1)}^{l+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}J_{-l-{\frac {1}{2}}}(z)$$n_{l}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}N_{l+{\frac {1}{2}}}(z)={(-1)}^{l+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}J_{-l-{\frac {1}{2}}}(z)$,

kde $J_{n}$$J_{n}$ jsou Besselovy funkce a $N_{n}$$N_{n}$ jsou Neumannovy funkce.

Mezi sférickými Besselovými a sférickými Neumannovými funkcemi platí vztah

$j_{l}(z)n_{l+1}(z)-j_{l+1}(z)n_{l}(z)=-z^{-2}$$j_{l}(z)n_{l+1}(z)-j_{l+1}(z)n_{l}(z)=-z^{-2}$

Jinou dvojicí nezávislých řešení jsou sférické Hankelovy funkce

$h_{l}^{(1)}(z)=j_{l}(z)+\mathrm {i} n_{l}(z)$$h_{l}^{(1)}(z)=j_{l}(z)+\mathrm {i} n_{l}(z)$

$h_{l}^{(2)}(z)=j_{l}(z)-\mathrm {i} n_{l}(z)$$h_{l}^{(2)}(z)=j_{l}(z)-\mathrm {i} n_{l}(z)$

Sférické cylindrické funkce lze vyjádřit následujícími vztahy

$j_{l}(z)={(-z)}^{l}{\left({\frac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)}^{l}{\frac {\sin z}{z}}$$j_{l}(z)={(-z)}^{l}{\left({\frac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)}^{l}{\frac {\sin z}{z}}$

$n_{l}(z)=-{(-z)}^{l}{\left({\frac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)}^{l}{\frac {\cos z}{z}}$$n_{l}(z)=-{(-z)}^{l}{\left({\frac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)}^{l}{\frac {\cos z}{z}}$

$h_{l}^{(1)}(z)=-\mathrm {i} {(-z)}^{l}{\left({\frac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)}^{l}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}}{z}}$$h_{l}^{(1)}(z)=-\mathrm {i} {(-z)}^{l}{\left({\frac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)}^{l}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}}{z}}$

Lze ukázat, že platí

$j_{l}(-z)={(-1)}^{l}j_{l}(z)$$j_{l}(-z)={(-1)}^{l}j_{l}(z)$

$n_{l}(-z)={(-1)}^{l+1}n_{l}(z)$$n_{l}(-z)={(-1)}^{l+1}n_{l}(z)$

$h_{l}^{(1)}(-z)={(-1)}^{l}h_{l}^{(2)}(z)$$h_{l}^{(1)}(-z)={(-1)}^{l}h_{l}^{(2)}(z)$

$h_{l}^{(2)}(-z)={(-1)}^{l}h_{l}^{(1)}(z)$$h_{l}^{(2)}(-z)={(-1)}^{l}h_{l}^{(1)}(z)$

Modifikovaná Besselova funkce

Modifikované Besselovy funkce jsou řešením modifikované Besselovy rovnice

$z^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+z{\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}-(z^{2}+\nu ^{2})w(z)=0$$z^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+z{\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}-(z^{2}+\nu ^{2})w(z)=0$

Modifikovaná Besselova funkce prvního druhu

Není-li $\nu$$\nu$ celé číslo, pak má řešení modifikované Besselovy rovnice tvar

$w(z)=c_{1}I_{\nu }(z)+c_{2}I_{-\nu }(z)$$w(z)=c_{1}I_{\nu }(z)+c_{2}I_{-\nu }(z)$,

kde $I_{\nu }(z)$$I_{\nu }(z)$ je modifikovaná Besselova funkce prvního druhu, která je definována vztahem

$I_{\nu }(z)={\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{k!}\Gamma (\nu +k+1)}}{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{2k}$$I_{\nu }(z)={\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{k!}\Gamma (\nu +k+1)}}{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{2k}$

Modifikovanou Besselovu funkci lze vyjádřit pomocí Besselovy funkce jako

$I_{\nu }(z)=\mathrm {i} ^{-\nu }J_{\nu }(\mathrm {i} z)$$I_{\nu }(z)=\mathrm {i} ^{-\nu }J_{\nu }(\mathrm {i} z)$

Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu

Pro celá $\nu =n$$\nu =n$ platí

$I_{-n}(z)=I_{n}(z)$$I_{-n}(z)=I_{n}(z)$

Pro celá $n$$n$ tedy nejsou $I_{n}(z)$$I_{n}(z)$ a $I_{-n}(z)$$I_{-n}(z)$ lineárně nezávislé funkce a obecné řešení modifikované Besselovy rovnice je nutné vyjádřit ve tvaru

$w(z)=c_{1}I_{n}(z)+c_{2}K_{n}(z)$$w(z)=c_{1}I_{n}(z)+c_{2}K_{n}(z)$,

kde $K_{n}(z)$$K_{n}(z)$ je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu (označovaná též jako MacDonaldova funkce).

Pro necelé $\nu$$\nu$ je definováno

$K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}$$K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}$

Pro celá $\nu =n$$\nu =n$ pak platí

$K_{n}(z)=\lim _{\nu \to n}{\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}$$K_{n}(z)=\lim _{\nu \to n}{\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}$

Fresnelův ohyb světla na hraně

Důležitým příkladem Besselovy funkce je Fresnelův ohyb světla na hraně.

Ohyb světla na přímé hraně.
V případě osvětlení monochromatickým světlem dochází při ohybu na hraně ke vzniku ohybových proužků, které jsou rovnoběžné s přímou hranou.
V horní části je zobrazen pozorovaný jev, a ve spodní části je rozdělení intenzity světla.

Související články

• Diferenciální rovnice

Literatura

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5