Besselova funkce

Besselovou funkcí je označováno řešení Besselovy rovnice

$z^2 \frac{\mathrm{d}^2 w(z)}{\mathrm{d}z^2} + z \frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z} + (z^2 - \nu^2)w(z) = 0$

pro libovolné reálné číslo $\nu$, které je označováno jako řád Besselovy funkce.

Cylindrické funkce

Cylindrickou funkcí se nazývá libovolné řešení Besselovy rovnice

Besselova funkce

Není-li $\nu$ celé číslo, pak lze obecné řešení Besselovy rovnice zapsat jako

$w(z)= c_1 J_\nu(z) + c_2 J_{-\nu}(z)$,

kde $J_\nu(z)$ a $J_{-\nu}(z)$ jsou lineárně nezávislé Besselovy funkce a $c_1, c_2$ jsou libovolné konstanty.

Besselovy funkce bývají také nazývány Besselovými funkcemi prvního druhu.

Besselova funkce řádu $\nu$ je definována vztahem

$J_\nu(z) = {\left(\frac{z}{2}\right)}^\nu \sum_{k=0}^\infty \frac{{(-1)}^k}{{k!}\Gamma(\nu+k+1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k}$,

kde $\Gamma(x)$ je gama funkce.

Je-li $\nu=n$ celé číslo, pak platí

$J_{-n}(z) = {(-1)}^n J_n(z)$,

výše uvedená řešení tedy nejsou v tomto případě nezávislá.

Pro $n=0,1,2,...$ lze Besselovu funkci vyjádřit v integrálním tvaru

$J_n(z) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(z \sin\theta - n\theta)\mathrm{d}\theta$

Platí následující rekurentní vztahy

$2\nu J_\nu(z) = z J_{\nu-1}(z) + z J_{\nu+1}(z)$

$2 J_\nu^\prime(z) = J_{\nu-1}(z) - J_{\nu+1}(z)$

$z J_\nu^\prime(z) = \nu J_\nu(z) - z J_{\nu+1}(z)$

$z J_\nu^\prime(z) = -\nu J_\nu(z) + zJ_{\nu-1}(z)$

Neumannova funkce

Je-li $\nu=n$ celé číslo, pak $J_n(z)$ a $J_{-n}(z)$ nejsou lineárně nezávislé. V takovém případě má obecný integrál tvar

$w(z) = c_1 J_n(z) + c_2 N_n(z)$,

kde $N_n(z)$ je tzv. Neumannova funkce (někdy též Weberova funkce), které jsou také řešením Besselovy rovnice.

Pro Neumannovy funkce se používá označení Besselovy funkce druhého druhu.

Neumannovy funkce jsou pro celočíselná $\nu=n$ definovány vztahem

$N_n(z) = \lim_{\nu \to n} \frac{J_\nu(z)\cos\nu\pi - J_{-\nu}(z)}{\sin\nu\pi}$

Pro $\nu$ různé od celého čísla je pak Neumannova funkce definována vztahem

$N_\nu(z) = \frac{J_\nu(z)\cos\nu\pi - J_{-\nu}(z)}{\sin\nu\pi}$

Je-li $\nu=n$ celé číslo, pak platí

$N_{-n}(z) = {(-1)}^n N_n(z)$

Mezi Besselovými a Neumannovými funkcemi platí vztah

$J_\nu(z) N_{\nu+1}(z) - J_{\nu+1}(z) N_\nu(z) = -\frac{2}{\pi z}$

Platí následující rekurentní vztahy

$2\nu N_\nu(z) = z N_{\nu-1}(z) + z N_{\nu+1}(z)$

$2 N_\nu^\prime(z) = N_{\nu-1}(z) - N_{\nu+1}(z)$

$z N_\nu^\prime(z) = \nu N_\nu(z) - z N_{\nu+1}(z)$

$z N_\nu^\prime(z) = -\nu N_\nu(z) + zN_{\nu-1}(z)$

Hankelova funkce

Důležitými cylindrickými funkcemi jsou tzv. Hankelovy funkce $H_\nu^{(1)}(z)$ a $H_\nu^{(2)}(z)$, které jsou definovány jako

$H_\nu^{(1)}(z) = J_\nu(z) + \mathrm{i}N_\nu(z)$

$H_\nu^{(2)}(z) = J_\nu(z) - \mathrm{i}N_\nu(z)$

Hankelova funkce bývá také označována jako Besselova funkce třetího druhu.

Sférické cylindrické funkce

Sférickou cylindrickou funkcí nazveme každé řešení rovnice

$z^2 \frac{\mathrm{d}^2 w(z)}{\mathrm{d}z^2} + 2z \frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z} + \left[z^2 - l(l+1)\right]w(z)=0$

pro celá nezáporná $l$.

Za dvě nezávislá řešení lze zvolit sférickou Besselovu funkci

$j_l(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} J_{l+\frac{1}{2}}(z)$

a sférickou Neumannovu funkci

$n_l(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} N_{l+\frac{1}{2}}(z) = {(-1)}^{l+1}\sqrt{\frac{\pi}{2z}} J_{-l-\frac{1}{2}}(z)$,

kde $J_n$ jsou Besselovy funkce a $N_n$ jsou Neumannovy funkce.

Mezi sférickými Besselovými a sférickými Neumannovými funkcemi platí vztah

$j_l(z)n_{l+1}(z) - j_{l+1}(z)n_l(z) = -z^{-2}$

Jinou dvojicí nezávislých řešení jsou sférické Hankelovy funkce

$h_l^{(1)}(z) = j_l(z) + \mathrm{i}n_l(z)$

$h_l^{(2)}(z) = j_l(z) - \mathrm{i}n_l(z)$

Sférické cylindrické funkce lze vyjádřit následujícími vztahy

$j_l(z) = {(-z)}^l {\left(\frac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)}^l \frac{\sin z}{z}$

$n_l(z) = -{(-z)}^l {\left(\frac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)}^l \frac{\cos z}{z}$

$h_l^{(1)}(z) = -\mathrm{i}{(-z)}^l {\left(\frac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)}^l \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}}{z}$

Lze ukázat, že platí

$j_l(-z) = {(-1)}^l j_l(z)$

$n_l(-z) = {(-1)}^{l+1} n_l(z)$

$h_l^{(1)}(-z) = {(-1)}^l h_l^{(2)}(z)$

$h_l^{(2)}(-z) = {(-1)}^l h_l^{(1)}(z)$

Modifikovaná Besselova funkce

Modifikované Besselovy funkce jsou řešením modifikované Besselovy rovnice

$z^2 \frac{\mathrm{d}^2 w(z)}{\mathrm{d}z^2} + z \frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z} - (z^2 + \nu^2)w(z) = 0$

Modifikovaná Besselova funkce prvního druhu

Není-li $\nu$ celé číslo, pak má řešení modifikované Besselovy rovnice tvar

$w(z) = c_1 I_\nu(z) + c_2 I_{-\nu}(z)$,

kde $I_\nu(z)$ je modifikovaná Besselova funkce prvního druhu, která je definována vztahem

$I_\nu(z) = {\left(\frac{z}{2}\right)}^\nu \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{{k!}\Gamma(\nu+k+1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k}$

Modifikovanou Besselovu funkci lze vyjádřit pomocí Besselovy funkce jako

$I_\nu(z) = \mathrm{i}^{-\nu} J_\nu(\mathrm{i}z)$

Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu

Pro celá $\nu=n$ platí

$I_{-n}(z) = I_n(z)$

Pro celá $n$ tedy nejsou $I_n(z)$ a $I_{-n}(z)$ lineárně nezávislé funkce a obecné řešení modifikované Besselovy rovnice je nutné vyjádřit ve tvaru

$w(z) = c_1 I_n(z) + c_2 K_n(z)$,

kde $K_n(z)$ je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu (označovaná též jako MacDonaldova funkce).

Pro necelé $\nu$ je definováno

$K_\nu(z) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu}(z) - I_\nu(z)}{\sin \nu\pi}$

Pro celá $\nu=n$ pak platí

$K_n(z) = \lim_{\nu \to n} \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu}(z) - I_\nu(z)}{\sin \nu\pi}$

Fresnelův ohyb světla na hraně

Důležitým příkladem Besselovy funkce je Fresnelův ohyb světla na hraně.

Ohyb světla na přímé hraně.
V případě osvětlení monochromatickým světlem dochází při ohybu na hraně ke vzniku ohybových proužků, které jsou rovnoběžné s přímou hranou.
V horní části je zobrazen pozorovaný jev, a ve spodní části je rozdělení intenzity světla.

Související články

• Diferenciální rovnice

Literatura

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5