Besselova funkce je řešení Besselovy rovnice

pro libovolné reálné číslo
, které je označováno jako řád Besselovy funkce. Funkce je pojmenována na počest německého matematika a fyzika Friedricha Wilhelma Bessela, který ji poprvé popsal.
Cylindrickou funkcí se nazývá libovolné řešení Besselovy rovnice
Není-li
celé číslo, pak lze obecné řešení Besselovy rovnice zapsat jako
,
kde
a
jsou lineárně nezávislé Besselovy funkce a
jsou libovolné konstanty.
Besselovy funkce bývají také nazývány Besselovými funkcemi prvního druhu.
Besselova funkce řádu
je definována vztahem
,
kde
je gama funkce.
Je-li
celé číslo, pak platí
,
výše uvedená řešení tedy nejsou v tomto případě nezávislá.
Pro
lze Besselovu funkci vyjádřit v integrálním tvaru

Platí následující rekurentní vztahy




Je-li
celé číslo, pak
a
nejsou lineárně nezávislé. V takovém případě má obecný integrál tvar
,
kde
je tzv. Neumannova funkce (někdy též Weberova funkce), které jsou také řešením Besselovy rovnice.
Pro Neumannovy funkce se používá označení Besselovy funkce druhého druhu.
Neumannovy funkce jsou pro celočíselná
definovány vztahem

Pro
různé od celého čísla je pak Neumannova funkce definována vztahem

Je-li
celé číslo, pak platí

Mezi Besselovými a Neumannovými funkcemi platí vztah

Platí následující rekurentní vztahy




Důležitými cylindrickými funkcemi jsou tzv. Hankelovy funkce
a
, které jsou definovány jako


Hankelova funkce bývá také označována jako Besselova funkce třetího druhu.
Sférickou cylindrickou funkcí nazveme každé řešení rovnice
![{\displaystyle z^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+2z{\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}+\left[z^{2}-l(l+1)\right]w(z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671a88aa0cccfc287df38f154016d095e9a80855)
pro celá nezáporná
.
Za dvě nezávislá řešení lze zvolit sférickou Besselovu funkci

a sférickou Neumannovu funkci
,
kde
jsou Besselovy funkce a
jsou Neumannovy funkce.
Mezi sférickými Besselovými a sférickými Neumannovými funkcemi platí vztah

Jinou dvojicí nezávislých řešení jsou sférické Hankelovy funkce


Sférické cylindrické funkce lze vyjádřit následujícími vztahy



Lze ukázat, že platí




Modifikované Besselovy funkce jsou řešením modifikované Besselovy rovnice

Modifikovaná Besselova funkce prvního druhu[editovat | editovat zdroj]
Není-li
celé číslo, pak má řešení modifikované Besselovy rovnice tvar
,
kde
je modifikovaná Besselova funkce prvního druhu, která je definována vztahem

Modifikovanou Besselovu funkci lze vyjádřit pomocí Besselovy funkce jako

Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu[editovat | editovat zdroj]
Pro celá
platí

Pro celá
tedy nejsou
a
lineárně nezávislé funkce a obecné řešení modifikované Besselovy rovnice je nutné vyjádřit ve tvaru
,
kde
je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu (označovaná též jako MacDonaldova funkce).
Pro necelé
je definováno

Pro celá
pak platí

Důležitým příkladem Besselovy funkce je Fresnelův ohyb světla na hraně.
Ohyb světla na přímé hraně.
V případě osvětlení
monochromatickým světlem dochází při ohybu na hraně ke vzniku ohybových proužků, které jsou
rovnoběžné s přímou hranou.
V horní části je zobrazen pozorovaný jev, a ve spodní části je rozdělení
intenzity světla.