Seznam základních integrálů

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Seznamy integrálů
Tabulka integrálů elementárních funkcí

Toto je seznam základních integrálů (primitivních funkcí) často používaných ve výuce a v praxi. Odvození obvykle probíhá tak, že se derivuje primitivní funkce.

\int {0} \,\mathrm{d}x = c
\int {a} \,\mathrm{d}x = ax + c
\int {x^n} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c \mbox{ pro } x>0, n \in \mathbb{R} \mbox{ a } n \ne -1. Pro přirozená n platí uvedený vztah pro všechna x.
\int {\frac{1}{x}} \,\mathrm{d}x = \ln |x| + c \mbox{ pro } x\ne 0
\int {\mathrm{e}^x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{e}^x + c
\int {a^x} \,\mathrm{d}x = \frac{a^x}{ln(a)} \ + c \mbox{ pro } a>0, a\ne 1
\int {\sin x} \,\mathrm{d}x = - \cos x + c
\int {\cos x} \,\mathrm{d}x = \sin x + c
\int {\frac{1}{\sin^2 x}} \,\mathrm{d}x = -\operatorname{cotg} \,x + c \mbox{ pro } x\ne n\pi, kde n je celé číslo.
\int {\frac{1}{\cos^2 x}} \,\mathrm{d}x = \operatorname{tg} \,x + c \mbox{ pro } x\ne (2n+1)\frac{\pi}{2}, kde n je celé číslo.
\int \frac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x = \operatorname{arctg}x + c_1 = - \operatorname{arccotg}x + c_2
\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \mathrm{d}x = \operatorname{arcsin}x + c_1 = - \operatorname{arccos}x + c_2 \mbox{ pro } -1<x<1
\int \frac{1}{1 - x^2} \mathrm{d}x = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\ln{|\frac{1+x}{1-x}|} + c, & \mbox{ pro } |x|\ne 1 \\ \operatorname{arctgh}x + c, & \mbox{ pro } |x|<1 \\ \operatorname{arccotgh}x + c & \mbox{ pro } |x|>1 \end{matrix}\right.
\int \sinh x \, \mathrm{d}x = \cosh x + c
\int \cosh x \, \mathrm{d}x = \sinh x + c
\int \frac{1}{\sinh^2 x} \mathrm{d}x = - \operatorname{cotgh}x + c \mbox{ pro } x\ne 0
\int \frac{1}{\cosh^2 x} \mathrm{d}x = \operatorname{tgh}x + c
\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\mathrm{d}x = \ln (x + \sqrt{x^2 + 1}) + c = \operatorname{arcsinh}x + c
\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\mathrm{d}x = \left\{\begin{matrix} \ln{|x + \sqrt{x^2 - 1}|} + c, & \mbox{ pro } |x|> 1 \\ \operatorname{arcosh}x + c, & \mbox{ pro } |x|<1 \end{matrix}\right.
\int [f(x) \pm g(x)] \, \mathrm{d}x = \int f(x)\,\mathrm{d}x \pm \int g(x)\,\mathrm{d}x
\int k\,f(x)\,\mathrm{d}x = k \int f(x)\,\mathrm{d}x pro libovolné reálné číslo k