Fourierova transformace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Fourierova transformace je integrální transformace převádějící signál mezi časově a frekvenčně závislým vyjádřením pomocí harmonických signálů, tj. funkcí a , obecně tedy funkcí komplexní exponenciály. Slouží pro převod signálů z časové oblasti do oblasti frekvenční. Signál může být buď ve spojitém či diskrétním čase.

Spojitý čas[editovat | editovat zdroj]

Definice[editovat | editovat zdroj]

Fourierova transformace funkce je definována integrálním vztahem

Funkci vypočteme z inverzní Fourierovou transformací

Nevlastní integrály chápeme ve smyslu Cauchyovy hlavní hodnoty, tj.

Dvojice ve Fourierově transformaci se nazývají originál (zde ) a obraz (zde ). Vztah mezi originálem a obrazem vyjadřujeme zápisem

a .

V technické oblasti je úhlová frekvence, představuje spektrum signálu .

Spektrum je komplexní veličina a lze vyjádřit ve tvaru . Velikost nazýváme amplitudové spektrum a úhel fázové spektrum signálu.

Vlastnosti Fourierovy transformace[editovat | editovat zdroj]

Věta o linearitě[editovat | editovat zdroj]

Lineární kombinaci signálů odpovídá lineární kombinace jejich spekter

Věta o změně měřítka (Podobnost)[editovat | editovat zdroj]

Má-li signál spektrum , má signál spektrum

.

Tedy rozšíření signálu v časové oblasti odpovídá zúžení spektra a naopak.

Posun signálu v čase (Posunutí)[editovat | editovat zdroj]

Má-li signál spektrum , má signál posunutý o veličinu spektrum

Amplitudové spektrum posunutého signálu se nemění, mění se jen fázové spektrum a to úměrně zpoždění a kmitočtu. Na rozdíl od věty o translaci v Laplaceově transformaci platí věta pro libovolné a, tedy i pro .

Spektrum reálného signálu[editovat | editovat zdroj]

Je-li signál reálný, pak pro jeho spektrum platí:

  • amplitudové spektrum je sudou funkcí[1]
  • fázové spektrum je lichou funkcí[1]
  • spektrum sudého signálu je sudou reálnou funkcí
  • spektrum lichého signálu je lichou ryze imaginární funkcí

Diskrétní čas[editovat | editovat zdroj]

Definice[editovat | editovat zdroj]

Fourierova transformace posloupnosti je definována vztahem

Posloupnost vypočteme z inverzní Fourierovou transformací

Někteří autoři označují tuto transformaci DtFT (discrete-time Fourier transformation), aby ji odlišili od Fourierovy transformace spojitého signálu. Zde nebudeme značením nijak odlišovat Fourierovu transformaci spojitého a diskrétního signálu. Vztah mezi signálem a jeho spektrem budeme tedy značit

a
.

Spektrum diskrétního signálu se od spektra spojitého signálu liší tím, že je periodické s periodou .

Diskrétní Fourierova transformace[editovat | editovat zdroj]

Definiční vztahy Fourierovy transformace vyžadují znalost matematického vyjádření signálu či spektra. Pokud však zpracováváme naměřené hodnoty, tj. známe vzorky signálu či spektra z konečného intervalu, stojíme před problémem, jak určit spektrum z vzorků signálu či signál ze vzorků spektra. K tomu účelu používáme numerické metody, která je známa jako diskrétní Fourierova transformace (DFT).

Diskrétní Fourierova transformace mezi posloupnostmi , , je definována vztahy:

  • přímá diskrétní Fourierova transformace
  • a zpětná (inverzní) diskrétní Fourierova transformace

Diskrétní Fourierova transformace našla velké uplatnění zejména s rozvojem výpočetní techniky. Součástí řady přístrojů jsou jednoúčelové procesory realizující tuto transformaci. Výpočet DFT podle definičního vztahu vyžaduje komplexních součinů a komplexních součtů. Toto množství operací výrazně snižovalo možnost aplikace DFT na výpočty v reálném čase.

Situace se změnila po roce 1965, kdy J. W. Cooley a J. W. Tukey popsali velmi efektivní algoritmus výpočtu DFT, tzv. rychlou Fourierovu transformaci (FFT – Fast Fourier Transform), který vyžaduje jen komplexních součinů a komplexních součtů. Díky tomuto algoritmu se stala diskrétní Fourierova transformace nejrozšířenějším prostředkem pro numerický výpočet Fourierovy transformace. Algoritmus FFT je také implementován ve všech nejrozšířenějších matematických programech jako je např. GNU Octave, Mathcad, Mathematica, Maple, Matlab atd.

Zpětná Fourierova transformace[editovat | editovat zdroj]

Integrál na pravé straně je nutno chápat ve smyslu hlavní hodnoty. Po úpravách popisuje rozložení funkce f(t) pro f∈(-∞,∞) na harmonické kmity, jejichž uhlová frekvence se mění od do .

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. a b plyne to z ; viz [1], strana 6

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]