Centrální limitní věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Centrální limitní věta v teorii pravděpodobnosti označuje tvrzení, podle něhož se (za určitých podmínek diskutovaných níže) rozdělení výběrového průměru po vhodné normalizaci blíží k normálnímu rozdělení. O náhodné veličině s uvedeným chováním říkáme, že má asymptoticky normální rozdělení.

Centrální limitní větu lze vyjádřit různými způsoby.

K důkazu se dnes nejčastěji používají charakteristické funkce. Věta však není platná například pro Cauchyho rozdělení. Zobecněně je limitním stabilní rozdělení.

Moivreova-Laplaceova věta[editovat | editovat zdroj]

Nejjednodušším vyjádřením centrální limitní věty je Moivreova-Laplaceova věta. Podle této věty platí, že pokud součtem nezávislých náhodných veličin s alternativním rozdělením (s parametrem ) vytvoříme veličinu , která má binomické rozdělení s parametry a , pak pro normovanou náhodnou veličinu

platí vztah

pro , kde je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení .

Podle Moivreovy-Laplaceovy věty tedy při velkém počtu nezávislých pokusů konverguje binomické rozdělení k rozdělení normálnímu.

Lévyho-Lindebergova věta[editovat | editovat zdroj]

Moivreovu-Laplaceovu větu lze zobecnit na větu Lévyho-Lindebergovu. Pokud je podle této věty náhodná veličina součtem vzájemně nezávislých náhodných veličin se shodným rozdělením libovolného typu, s konečnou střední hodnotou a konečným rozptylem , pak pro normovanou náhodnou veličinu

platí opět vztah

pro , kde je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení . Veličina má tedy asymptoticky normální rozdělení.

Porovnejte toto chování se zákonem velkých čísel, který pro tento případ dává

skoro jistě.

Ljapunovova věta[editovat | editovat zdroj]

Nejobecnějším vyjádřením centrální limitní věty pro součet nezávislých náhodných veličin je věta Ljapunovova. Ta říká, že rozdělení součtu vzájemně nezávislých veličin konverguje k normálnímu rozdělení i v případě, že veličiny nemají stejné rozdělení pravděpodobnosti.

Nechť náhodná veličina je součtem vzájemně nezávislých veličin , které mají konečné střední hodnoty a konečné třetí centrální momenty . Nechť dále platí Ljapunovova podmínka

.
Pak pro normovanou náhodnou veličinu

platí vztah

pro , kde je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení .

Využití ve výpočtech[editovat | editovat zdroj]

Zde následuje typický příklad použití CLV. Máme náhodnou veličinu se známou střední hodnotou a rozptylem (rozdělení znát nemusíme) a chceme zjistit, s jakou pravděpodobností je menší než dané .

Hodnota je tabelována.

Můžeme chtít i opačný postup – ptáme se jaké hodnoty nabude náhodná veličina s danou pravděpodobností . V takovémto případě stačí použít inverzní distribuční funkci normovaného normálního rozdělení:

Hodnota je také tabelována a nazývá se kvantilová funkce.

Tyto výpočty jsou sice všechny asymptotické, ale v praxi funguje CLV dobře už pro velmi malá (stačí okolo 30).

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]