Centrální limitní věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Centrální limitní věta (CLV) v teorii pravděpodobnosti označuje tvrzení, podle něhož se (za určitých podmínek diskutovaných níže) rozdělení výběrového průměru blíží k normálnímu rozdělení, a to bez ohledu na to, jaké je rozdělení průměrované náhodné veličiny. Jinak řečeno pokud platí předpoklady centrální limitní věty, tak výběrový průměr má jakožto náhodná veličina asymptoticky normální rozdělení.

Existují různé varianty centrální limitní věty lišící se formulací předpokladů a silou vysloveného tvrzení, K důkazu CLV se dnes nejčastěji používají charakteristické funkce.

Předpoklady CLV se týkají zejména toho, jak vypadá rozdělení průměrovaných náhodných veličin. Obecně se kladou limitující podmínky zejména na jejich momenty (střední hodnoty, rozptyly atd.). Věta tak neplatí například pro Cauchyho rozdělení, jehož rozptyl není definován. Výběrové průměry takovýchto příliš „divokých“ náhodných veličin nekonvergují k normálnímu rozdělení, ale k některému jinému z takzvaných stabilních rozdělení.

Moivreova-Laplaceova věta[editovat | editovat zdroj]

Nejjednodušším vyjádřením centrální limitní věty je Moivreova-Laplaceova věta. Podle této věty platí, že pokud součtem nezávislých náhodných veličin s alternativním rozdělením (s parametrem ) vytvoříme veličinu , která má binomické rozdělení s parametry a , pak pro normovanou náhodnou veličinu

platí vztah

pro , kde je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení .

Lévyho-Lindebergova věta[editovat | editovat zdroj]

Moivreovu-Laplaceovu větu lze zobecnit na větu Lévyho-Lindebergovu. Pokud je podle této věty náhodná veličina součtem vzájemně nezávislých náhodných veličin se shodným rozdělením libovolného typu, s konečnou střední hodnotou a konečným rozptylem , pak pro normovanou náhodnou veličinu

platí opět vztah

pro , kde je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení . Veličina má tedy asymptoticky normální rozdělení.

Porovnejte toto chování se zákonem velkých čísel, který pro tento případ dává

skoro jistě.

Ljapunovova věta[editovat | editovat zdroj]

Nejobecnějším vyjádřením centrální limitní věty pro součet nezávislých náhodných veličin je věta Ljapunovova. Ta říká, že rozdělení součtu vzájemně nezávislých veličin konverguje k normálnímu rozdělení i v případě, že veličiny nemají stejné rozdělení pravděpodobnosti.

Nechť náhodná veličina je součtem vzájemně nezávislých veličin , které mají konečné střední hodnoty a konečné třetí centrální momenty . Nechť dále platí Ljapunovova podmínka

.
Pak pro normovanou náhodnou veličinu

platí vztah

pro , kde je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení .

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]