Kombinační číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Binomické koeficienty lze uspořádat do tvaru Pascalova trojúhelníka, ve kterém je každá hodnota součtem dvou hodnot ležících nad ní.
Znázornění binomické expanze do čtvrté mocniny

Kombinační číslo je matematická funkce, která udává počet kombinací, tzn. způsobů, jak vybrat -prvkovou podmnožinu z -prvkové množiny ( a jsou čísla přirozená). Kombinační čísla zapisujeme (čte se „n nad k“), někdy se používá také značení , či . Hodnotu kombinačních čísel lze vyjádřit pomocí faktoriálu:

Platí rovnost

Kombinační čísla se používají hlavně v kombinatorice, velice důležité je využití v binomické větě (přičemž je zde označováno jako binomický koeficient), v Leibnizově pravidle nebo při výpočtu pravděpodobnosti v binomickém rozdělení.

Základní vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Pro přirozená čísla n a k, kde a platí

Zobecnění kombinačních čísel[editovat | editovat zdroj]

Pokud definujeme kombinační číslo takto

,

kde je nezáporné celé číslo, pak je zřejmé, že pravá strana má smysl, i když číslo není celé nezáporné. Na číslo dokonce nemusíme klást žádné podmínky, může se jednat dokonce o číslo komplexní. Vztah je tedy přirozeným zobecněním kombinačních čísel a je používán hlavně v zobecněné binomické větě.

Další možnou definici nám umožňuje nahrazení faktoriálu gama funkcí

kde i mohou být komplexní čísla – pak ovšem nebudou platit popsané vlastnosti kombinačních čísel pro všechny hodnoty.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • MATOUŠEK, Jiří; NEŠETŘIL, Jaroslav. Kapitoly z diskrétní matematiky. 3., upravené a doplněné vyd. Praha: Karolinum, 2007. ISBN 978-80-246-1411-3. Kapitola 3. Kombinatorické počítání, s. 76–82. 
  • BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4., upravené vyd. Praha: Academia, 2006. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola 1.7.1. Binomické koeficienty, binomická věta, s. 156–160. 

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]