Leibnizovo pravidlo

Leibnizovo pravidlo je v matematice předpis, který udává, jak se určitá třída operátorů (typicky derivace) chová vůči součinu dvou funkcí.^[1]

Označíme-li $A$ obecný operátor, pak splňuje-li Leibnizovo pravidlo, platí:

A(fg)=(Af)g+f(Ag)

Derivace součinu

Toto pravidlo splňuje operace derivování. Pro první derivaci součinu funkcí $f$ a $g$ platí:

(fg)'=f'g+fg'

Zobecněné Leibnizovo pravidlo

Pokud mají funkce $f$ a $g$ v daném bodě (nebo na určitém intervalu) derivace až do řádu $n$ , lze pro $n$ -tou derivaci součinu použít vzorec:

(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k)}

V tomto vzorci je ${\binom {n}{k}}$ binomický koeficient (kombinační číslo), definovaný vztahem ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ , $f^{(j)}$ označuje $j$ -tou derivaci funkce $f$ a pro $j=0$ značí $f^{(0)}$ samotnou funkci $f$ .

Vzorec je strukturně shodný s binomickou větou pro umocňování dvojčlenu $(a+b)^{n}$ , kde jsou mocniny nahrazeny řády derivací.

Související články

Reference

↑ OLVER, Peter J. Applications of Lie Groups to Differential Equations. [s.l.]: Springer, 2000. Dostupné online. ISBN 9780387950006. S. 318–319.

Literatura

JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet I. Praha: Academia, 1984.
KOPÁČEK, Jiří. Matematická analýza pro fyziky I. [s.l.]: Matfyzpress, 2002.
REKTORYS, Karel. Přehled užité matematiky I. Praha: Prometheus, 2000.

[1] OLVER, Peter J. Applications of Lie Groups to Differential Equations. [s.l.]: Springer, 2000. Dostupné online. ISBN 9780387950006. S. 318–319.

[1]