Operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o matematickém pojmu. Další významy jsou uvedeny v článku Operátor (rozcestník).

Operátorem nazýváme v matematice takové zobrazení, kterým nějaké funkci f přiřazujeme funkci g, tzn.

,

kde . Působením operátoru na f tedy získáme g. Říkáme, že na X je dán operátor , zobrazující prostor X do prostoru Y.

Operátor obvykle značíme stříškou, např. , apod.

Prvek nazýváme vzorem (originálem), prvek obrazem.

Množina všech , které přísluší všem , tzn. množina všech obrazů, se nazývá obor hodnot operátoru . Obvykle se značí . Pokud operátor není definován pro všechna , pak množinu těch pro které definován je nazveme definičním oborem operátoru.

Funkcionál[editovat | editovat zdroj]

Pokud je množina reálných, resp. komplexních čísel, tzn. proměnná g je reálné, resp. komplexní číslo, pak operátor nazýváme (reálným, resp. komplexním) funkcionálem.

Vybrané druhy operátorů[editovat | editovat zdroj]

Lineární operátor[editovat | editovat zdroj]

Lineární operátor je takový operátor, pro který platí

neboli musí platit tyto 2 vlastnosti:
1) (x+y) = (x) + (y),
2) (cx) = c (x), kde c je konstanta.
Operátorem je například limita, x a y jsou funkce nebo posloupnosti. Limita je lineární operace a protože derivace je definována pomocí limit je též lineárním operátorem. Integrál je definován jako inverzní k derivace, je tedy též lineárním operátorem.

kde jsou libovolné funkce a jsou libovolné koeficienty.

Linearitu operátoru je také možné vyjádřit tak, že pokud existují libovolné koeficienty a libovolné funkce takové, že a , pak platí

Antilineární operátor[editovat | editovat zdroj]

Operátor označujeme jako antilineární, jestliže platí

,

kde jsou libovolné funkce a jsou koeficienty komplexně sdružené k .

Operátor identity[editovat | editovat zdroj]

Důležitým operátorem je tzv. operátor identity (jednotkový operátor) , pro který platí

Působením operátoru identity tedy nedochází k žádné změně.

Totožné operátory[editovat | editovat zdroj]

Pokud pro dva operátory z X do Y platí pro každé , pak říkáme, že oba operátory jsou totožné.

Spojitý operátor[editovat | editovat zdroj]

Operátor se nazývá spojitý v bodě , jestliže pro každou posloupnost prvků z , pro kterou v prostoru platí , platí také , tzn. , v prostoru .

Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě , je spojitý v každém bodě .

Omezený operátor[editovat | editovat zdroj]

Operátor nazveme ohraničeným (omezeným) operátorem tehdy, jestliže existuje takové (nezávislé na f), že pro každé platí

,

kde je norma funkce (vlastního řešení) f v prostoru X a je norma prvku v prostoru Y.

Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.

Infimum čísel operátoru představuje tzv. normu operátoru , tzn.

Normu lze také získat jako supremum množiny čísel pro všechny jednotkové prvky f, tzn.

Symetrický, hermiteovský a sdružený operátor[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Sdružený operátor.
Podrobnější informace naleznete v článku Hermitovský operátor.

Operátor označíme jako symetrický, jestliže platí

kde bylo použito zápisu pomocí Diracovy symboliky běžně užívané v kvantové fyzice.

Omezený symetrický operátor označujeme jako hermiteovský.

Operátor označíme jako antihermiteovský, je-li operátor hermiteovský.

K operátoru existuje sdružený operátor , který splňuje vztah

neboli

Platí vztahy

Operátor  se nazývá samosdružený, jestliže platí

Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermiteovský a symetrický ekvivalentní.

Samosdružený operátor je pozitivní, když pro každé platí

Operátor označujeme jako normální, když platí

,

kde označují komutátor.

Inverzní operátor[editovat | editovat zdroj]

Operátor nazveme inverzním operátorem k , pokud platí

,

kde představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.

Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů)

Unitární operátor[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Unitární operátor.

Operátor označíme jako unitární, pokud platí

neboli

,

kde je operátor identity.

Pro libovolný unitární operátor platí

Jestliže operátor splňuje vztah

,

pak operátor označujeme jako izometrický. Izometrický operátor sice splňuje vztah , avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být .

Projekční operátor[editovat | editovat zdroj]

Omezený operátor označíme jako projekční, splňuje-li podmínky

Je-li projekční operátor, pak je projekčním operátorem také

,

kde představuje operátor identity. Platí přitom vztahy

Je-li vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na lze vyjádřit jako

Jestliže množina vektorů tvoří ortonormální bázi podprostoru , pak projekční operátor do vyjádříme jako

Pokud je , pak je projekční operátor operátorem identity, tzn.

Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti).

Operace s operátory[editovat | editovat zdroj]

Součtem dvou operátorů získáme operátor , pro který platí

Operátor označíme jako součin operátorů a , tzn. , pokud pro každé u platí

Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, např. .

Násobení operátorů není komutativní, tzn. v obecném případě pro dva operátory neplatí . Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů , zavádíme tzv. komutátor operátorů

Dva nekomutativní operátory splňují pro některé u vztah

Dva komutativní operátory splňují pro libovolné u vztah

Jsou-li lineární hermiteovské operátory komutativní, pak mají společné vlastní funkce.

Jestliže operátory komutují, tzn. , pak pro libovolné funkce f, g platí

Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátorů

Z definice komutátoru a antikomutátoru dostaneme následující vztahy:

Platí také tzv. Jacobiho identita

Příklad[editovat | editovat zdroj]

  • Příkladem lineárního operátoru může být operátor , který funkci, na niž je aplikován, přiřazuje její derivaci podle proměnné x.
  • Nelineárním operátorem je operátor . Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci f dostaneme .

Použití[editovat | editovat zdroj]

Operátory mají významnou aplikaci v kvantové mechanice a při zjednodušování zápisu identit jinde ve fyzice. Používají se také při zápisu počítačových programů v programovacích jazycích.

Související články[editovat | editovat zdroj]