Vlastní číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice označuje vlastní vektor (anglicky eigenvector, německy Eigenvektor) dané transformace nenulový vektor, jehož směr se při transformaci nemění. Koeficient, o který se změní velikost vektoru, se nazývá vlastní číslo (hodnota) (anglicky eigenvalue, německy Eigenwert). Množina vlastních vektorů, které náleží stejnému vlastnímu číslu, se nazývá vlastní prostor transformace.

Daný vektor může mít i jiná označení, je například zvykem říkat vlastní řešení (pokud je vektor řešením nějaké rovnice), vlastní funkce (pokud jde o funkci), vlastní stav (pokud vektor popisuje kvantový stav), apod.

Vlastní čísla hrají důležitou roli nejen v lineární algebře, ale i funkcionální analýze, kybernetice nebo také v kvantové fyzice.

Definice a značení[editovat | editovat zdroj]

Vlastní vektor lineárního operátoru je takový nenulový vektor u, pro který

, kde je číslo.

Číslo se nazývá vlastní číslo (též charakteristické číslo) operátoru a vlastní vektor operátoru příslušný vlastní hodnotě .

V kvantové mechanice se můžeme často setkat se zápisem anebo kde označuje operátor a A příslušné vlastní číslo. Operátor je často diferenciální operátor na nějakém prostoru funkcí nebo distribucí.

Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů matice[editovat | editovat zdroj]

Definice určuje soustavu lineárních rovnic

pro .

Proměnnou na pravé straně lze pomocí Kroneckerova delta vyjádřit jako

Dosazením do předchozího vztahu pak dostaneme

,

což lze vyjádřit maticově jako

,

kde je jednotková matice. Na tento vztah lze nahlížet jako na homogenní soustavu lineárních algebraických rovnic o neznámých. Ta má netriviální (nenulové) řešení právě tehdy, když je matice soustavy singulární, tzn. platí

,

což lze rozepsat

.

Tato rovnice se nazývá charakteristická rovnice. Rovnice podobného typu bývají také označovány jako sekulární rovnice, protože dříve sloužily k výpočtům pohybů planet (jejich odchylek od eliptických drah).

Polynom na levé straně této rovnice se nazývá charakteristický polynom matice a jeho kořeny jsou vlastními čísly matice . Proto má matice vždy vlastních čísel, z nichž se některá mohou opakovat. Počet opakování, tj. násobnost kořene charakteristického polynomu nazýváme algebraickou násobností vlastního čísla.

Vlastní vektory matice vyhovují rovnici pro jednotlivá vlastní čísla.

Libovolný nenulový násobek vlastního vektoru je rovněž vlastním vektorem, není však považován za jiný vlastní vektor. Ke kořenu charakteristického polynomu násobnosti existuje nejvýše vzájemně lineárně nezávislých vlastních vektorů. Počet lineárně nezávislých vlastních vektorů odpovídajících vlastnímu číslu , tj. se nazývá geometrická násobnost vlastního čísla.

Vztah mezi algebraickou a geometrickou násobností lze snadno nahlédnout pomocí Jordanova rozkladu matice.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice

Charakteristická rovnice má tvar

.

Po jejím rozepsání (tedy jednoduše vyčíslíme determinant a položíme jej roven nule) dostaneme kvadratickou rovnici

Řešením této rovnice získáme vlastní čísla

Vlastní vektor příslušný vlastní hodnotě získáme řešením soustavy lineárních rovnic

Řešením této rovnice je např. vektor

Vlastní vektor příslušný vlastní hodnotě získáme řešením soustavy lineárních rovnic

Řešením této rovnice je např. vektor

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Nula je vlastním číslem matice právě tehdy, když je matice singulární. Je-li matice regulární, pak nula není jejím vlastním číslem.
  • Je-li matice symetrická a reálná (tj. obsahuje pouze reálná čísla), pak všechna její vlastní čísla jsou reálná.
  • Jestliže k matici existuje inverzní matice , pak je vlastním číslem matice tehdy, je-li vlastním číslem matice . Přitom platí, že vlastní vektory matice odpovídající vlastnímu číslu jsou stejné jako vlastní vektory matice odpovídající vlastnímu číslu .
  • Pokud má matice vlastní číslo a odpovídající vlastní vektor , pak matice má vlastní číslo a jemu odpovídající vlastní vektor je .
  • Je-li vlastním číslem reálné matice komplexní číslo , pak je také komplexně sdružené číslo vlastním číslem matice .
  • Je-li lineární operátor hermitovský, jsou všechna vlastní čísla reálná.

Spektrum operátoru[editovat | editovat zdroj]

Množina všech vlastních čísel tvoří část spektra operátoru. Tato část se nazývá bodové (diskrétní) spektrum. Dalšími částmi spektra mohou být spojité spektrum a reziduální spektrum.[zdroj?]

Nechť je lineární operátor.

Pokud ke každému vlastnímu číslu přísluší právě jedna vlastní funkce , pak říkáme, že operátor má prosté (nedegenerované) spektrum.

Pokud některým vlastním číslům přísluší několik lineárně nezávislých vlastní funkcí , tzn.

,

kde , pak hovoříme o degenerovaném spektru. Počet lineárně nezávislých funkcí se nazývá násobností (stupněm) degenerace.

Související články[editovat | editovat zdroj]