Jordanova normální forma

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
(přesměrováno z Jordanův rozklad)
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Jordanova normální forma (často též Jordanův kanonický tvar) je v lineární algebře zvláštní tvar čtvercové matice užitečný mimo jiné při výpočtu maticových funkcí defektních matic. Matice v Jordanově tvaru je blokově diagonální a na diagonále má tzv. Jordanovy bloky (nazývané též Jordanovy buňky[1]), což je speciální typ horní trojúhelníkové matice.

Důležitou vlastností Jordanova tvaru je, že pro každou matici existuje Jordanův tvar , který jí je podobný, tedy existuje taková regulární matice , že . Takový přepis se nazývá Jordanův rozklad matice .

Podoba Jordanova tvaru[editovat | editovat zdroj]

Matice v Jordanově tvaru je blokově diagonální taková, že:

kde , tzv. Jordanův blok vlastního čísla dimenze , je horní troúhelníková matice ve tvaru:

Matice v Jordanově tvaru má tedy na diagonále obecná komplexní čísla, těsně nad diagonálou 1 nebo 0 a všude jinde nuly.

Pozn.: Nuly v maticovém zápisu Jordanova tvaru zpravidla vynecháváme, jinak by se zápis stal nepřehledným. Automaticky můžete předpokládat, že všechna prázdná místa v maticích budou vyplněna nulami.

Příklad 1[editovat | editovat zdroj]

Následující matice je v Jordanově tvaru:

Skládá ze tří Jordanových bloků velikosti 2×2, 1×1 a 3×3 odpovídajících (ne nutně různým) vlastním číslům 5, 8 a 8.

Příklad 2[editovat | editovat zdroj]

Jakákoliv n×n diagonální matice je v Jordanově tvaru: má n bloků o rozměru 1×1.

Souvislost s vlastními čísly[editovat | editovat zdroj]

Jordanova forma má úzký vztah k algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Připomeňme si stručně tyto pojmy:

  • Vlastní číslo matice je takové , které pro nějaký vektor splňuje . Tato podmínka se dá snadno přepsat jako .
  • Máme-li matici a její vlastní číslo , hodnota se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla .
  • Polynom se nazývá charakteristický polynom matice a jeho kořeny jsou vlastními čísly . Termínem algebraická násobnost se označuje násobnost jako kořene tohoto polynomu.

Z těchto definic je zřejmé, že Jordanův blok má vlastní číslo s algebraickou násobností a geometrickou násobností 1. Lze ukázat, že se násobnosti bloků v Jordanově tvaru sčítají, matice s vlastním číslem s algebraickou násobností a geometrickou násobností bude tedy mít pro toto vlastní číslo Jordanových bloků, jejichž součet dimenzí bude .

Vlastní číslo s algebraickou násobností 1 se nazývá jednoduché. Vlastní číslo, které není jednoduché, se nazývá násobné.

Jordanův kanonický tvar je jednoznačný, až na uspořádání jednotlivých Jordanových bloků na diagonále. Matice , jejíž Jordanův kanonický tvar

  • obsahuje pouze Jordanovy bloky dimenze 1, se nazývá diagonalizovatelná nebo také jednoduchá (ekvivalentně, všechna vlastní čísla mají stejnou geometrickou i algebraickou násobnost).
  • Matice, která není diagonalizovatelná, ze nazývá defektní (ekvivalentně, obsahuje alespoň jeden Jordanův blok dimenze větší než jedna).
  • Matice, která má alespoň jedno vlastní číslo s geometrickou násobností větší než jedna, se v angličtině nazývá „derogatory“ (ekvivalentně, existují alespoň dva Jordanovy bloky odpovídající stejnému vlastnímu číslu).
  • A naopak, matice se v angličtině nazývá „nonderogatory“ pokud všechna její vlastní čísla mají geometrickou násobnost rovnou jedné (ekvivalentně, v Jordanově kanonickém tvaru dvěma různým indexům odpovídají různá vlastní čísla ).

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Každá matice je podobná matici s J jordanovou normální formou. Tj. existuje matice přechodu mezi bázemi P tak, že PA = JP. Jelikož jordanova matice je trojúhelníková, její vlastní čísla jsou na diagonále, a jelikož A a J jsou podobné, jejich vlastní čísla jsou stejná.

Příklad Jordanova rozkladu a funkce matice[editovat | editovat zdroj]

Demonstrujme si Jordanův rozklad na jednoduchém příkladu. Máme rozložit matici

Nejprve určíme vlastní čísla této matice, například pomocí determinantu

Dostáváme

Nalezli jsme tedy vlastní číslo s algebraickou násobností 2.

Vlastní vektory odpovídající tomuto vlastnímu číslu jsou všechna nenulová řešení homogenní soustavy . Zřejmě

a jedním z hledaných řešení je například vektor . Všimněme si, že matice má hodnost jedna a dimenze jejího jádra (nulového prostoru) je také jedna. Žádný jiný lineárně nezávislý vlastní vektor matice nemá. Vlastní číslo má geometrickou násobnost jedna.

Pro výpočet Jordanova rozkladu musíme sestavit matici . Jejím prvním sloupcem bude právě vlastní vektor , druhým sloupcem bude tzv. zobecněný vlastní vektor, pro který v tomto případě platí

Snadno se přesvědčíme, že . Zadanou matici nyní můžeme zapsat pomocí Jordanova rozkladu

kde prostřední matice je Jordanův kanonický tvar matice . Obsahuje jediný Jordanovův blok velikosti 2.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. Praha: Academia, 2000. ISBN 80-200-0843-8. S. 115-118.