Jordanův rozklad

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Jordanův rozklad je rozklad obecné komplexní čtvercové matice. Jedná se o velmi užitečný teoretický nástroj. Pro praktické počítání se používá zřídka.

Jordanův rozklad[editovat | editovat zdroj]

Libovolnou čtvercovou matici lze vyjádřit jako součin

kde matice je regulární a matice je blokově diagonální

pro . Zřejmě platí . Rozklad

  • se nazývá Jordanův rozklad,
  • matice se nazývá Jordanův kanonický tvar (matice ),
  • matice se nazývá Jordanův blok.

Čísla jsou vlastní čísla matice . Jednomu vlastnímu číslu může odpovídat více Jordanových bloků. Počet Jordanových bloků odpovídajících vlastnímu číslu nazýváme geometrickou násobností vlastního čísla, součet dimenzí těchto bloků nazýváme algebraickou násobností vlastního čísla. Vlastní číslo s algebraickou násobností 1 se nazývá jednoduché. Vlastní číslo, které není jednoduché se nazývá násobné.

Jordanův kanonický tvar je jednoznačný, až na uspořádání jednotlivých Jordanových bloků na diagonále. Matice jejíž Jordanův kanonický tvar

  • obsahuje pouze Jordanovy bloky dimenze 1 se nazývá diagonalizovatelná nebo také jednoduchá (ekvivalentně, všechna vlastní čísla mají stejnou geometrickou i algebraickou násobnost).
  • Matice, která není diagonalizovatelná ze nazývá defektní (ekvivalentně, obsahuje alespoň jeden Jordanův blok dimenze větší než jedna).
  • Matice, která má alespoň jedno vlastní číslo s geometrickou násobností větší než jedna se nazývá derogatory (ekvivalentně, existují alespoň dva Jordanovy bloky odpovídající stejnému vlastnímu číslu).
  • A naopak, matice se nazývá nonderogatory pokud všechna její vlastní čísla mají geometrickou násobnost rovnou jedné (ekvivalentně, v Jordanově kanonickém tvaru dvěma různým indexům odpovídají různá vlastní čísla ).

Podobnost matic[editovat | editovat zdroj]

Matice , jsou podobné, jestliže existuje taková regulární matice , že platí

Každá matice je podobná svému Jordanovu kanonickému tvaru. Mají-li tedy dvě matice identický Jordanův kanonický tvar, pak jsou si podobné a naopak. Relace podobnosti je tedy ekvivalence. Množinu všech čtvercových komplexních matic lze rozložit na třídy sobě podobných matic, přičemž každá třída je charakterizována právě jednou maticí v Jordanově kanonickém tvaru.

Maticové funkce[editovat | editovat zdroj]

Jordanův rozklad lze využít k rozšíření některých komplexních funkcí na okruh čtvercových matic, viz maticová funkce.

Příklad Jordanova rozkladu a funkce matice[editovat | editovat zdroj]

Demonstrujme si popsaný postup na jednoduchém příkladu. Máme nalézt Jordanův rozklad matice

Nejprve určíme vlastní čísla dané matice například pomocí determinantu

Dostáváme

Nalezli jsme tedy vlastní číslo s algebraickou násobností 2.

Vlastní vektory odpovídající tomuto vlastnímu číslu jsou všechna nenulová řešení homogenní soustavy . Zřejmě

a jedním z hledaných řešení je například vektor . Všimněme si, že matice má hodnost jedna a dimenze jejího jádra (nulového prostoru) je také jedna. Žádný jiný lineárně nezávislý vlastní vektor matice nemá. Vlastní číslo má geometrickou násobnost jedna.

Pro výpočet Jordanova rozkladu musíme sestavit matici . Jejím prvním sloupcem bude právě vlastní vektor , druhým sloupcem bude tzv. zobecněný vlastní vektor, pro který v tomto případě platí

Snadno se přesvědčíme, že . Zadanou matici nyní můžeme zapsat pomocí Jordanova rozkladu

kde prostřední matice je Jordanův kanonický tvar matice . Obsahuje jediný Jordanovův blok velikosti 2.

Související články[editovat | editovat zdroj]