Maticová funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o aplikaci komplexní funkce na matici. Výraz „maticová funkce“ se někdy používá pro libovolné zobrazení z nějaké množiny do množiny matic.

Maticová funkce je matematické zobrazení, která zobrazuje matice na matice. Některé komplexní funkce , nejčastěji se setkáme s funkcemi

je možné rozšířit přirozeným způsobem na maticové funkce. Tento proces se také nazývá funkční kalkulus.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť je funkce komplexní proměnné , a nechť je čtvercová matice. Pokud je funkce definovaná a analytická na otevřené množině obsahující spektrum matice matice , lze funkci zobecnit na . Zobecnění lze provést několika různými avšak navzájem ekvivalentními[1] způsoby:

Definice pomocí Jordanova rozkladu[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme analytickou funkci

kde suma na pravé straně je Taylorova řada funkce v bodě 0 (která je konvergentní). Pak lze funkci zobecnit na čtvercové matice jednoduše jako

Je-li matice diagonalizovatelná, existuje regulární matice tak, že

pak

Protože

pro platí

a tedy

Velká závorka uprostřed je diagonální matice, obsahující na diagonále shora uvedené Taylorovy řady se , tj. právě hodnoty . Dostáváme tak vztah definující maticovou funkci diagonalizovatelné matice

Pokud matice není diagonalizovatelná, můžeme použít Jordanův rozklad a situace je jen nepatrně složitější. Existuje regulární matice tak, že

kde matice

je blokově diagonální, s Jordanovými bloky na diagonále (zřejmě ). Analogicky jako v předchozím případě dostaneme vztah definující maticovou funkci

kde

Definice pomocí Cauchyho integrálu[editovat | editovat zdroj]

Nechť je opět je analytická na otevřené množině obsahující spektrum matice . Nechť dále je uzavřená křivka v oddělující od komplexní roviny nějakou část oblasti analyticity obsahující všechna vlastní čísla. Pak

,

a

Definice pomocí polynomiální interpolace[editovat | editovat zdroj]

Definici pomocí Hermiteova interpolačního polynomu nalezneme například v knize.[1]

Výpočet[editovat | editovat zdroj]

Jordanův rozklad je užitečný nástroj pro porozumění pojmu funkce matice. Definice však, jak to obvykle bývá, není vhodný návod pro praktický výpočet. Nicméně pro velmi malé, školní příklady, lze maticovou funkci spočítat přímo z definice, nejsnáze právě pomocí Jordanova rozkladu. Numericky stabilní výpočet maticových funkcí velkých matic je předmětem intenzivního základního vývoje v oblasti maticových výpočtů.

Výpočet maticové funkce je navíc silně závislý na funkci a na vlastnostech matice .

  • Při výpočtu odmocniny z pozitivně definitní matice se používají algoritmy založené na Newtonově metodě.
  • Při výpočtu znaménkové funkce matice, která nemá žádné ryze imaginární vlastní číslo se počítá pomocí algoritmu sign iteration.

V praxi, v mnoha případech není potřeba znát přímo matici , ale stačí znát její akci na konkrétní vektor, tj. , nebo dokonce . Často tedy stačí určit vektor délky , nebo dokonce jen jeden skalár (viz příklad řešení ljapunovské rovnice, případ kdy ). To je klíčové zejména u rozsáhlých úloh. Matice může být hustá i když původní matice je řídká. Pokus o přímé vyčíslení funkce tak může vést na hustou matici, přičemž požadavky na uložení všech prvků matice (reálných čísel) mohou významně přesahovat paměťové prostředky dostupné na daném počítači. Pro výpočet nebo bez vyčíslování matice se používají speciální postupy a algoritmy.

Příklady aplikací[editovat | editovat zdroj]

Největším zdrojem aplikací jsou maticové výpočty samy o sobě. Mimo to se s maticovými funkcemi často setkáváme v teorii řízení.

Řešení obyčejných diferenciálních rovnic[editovat | editovat zdroj]

Obyčejná homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, anebo systém rovnic s konstantními koeficienty, se dá přepsat na maticovou rovnici

je vektor neznámých. Řešení je vektorový prostor generovaný sloupci matice

Řešení ljapunovské rovnice[editovat | editovat zdroj]

Při rozhodování zda je dynamický systém řiditelný nebo pozorovatelný řešíme tzv. ljapunovské rovnice

kde matice je stabilní (tedy ). Řešení lze formálně zapsat ve tvaru

kde se užívá maticová exponenciála.

Podobné problémy vyvstávají při úlohách redukce modelu.

Stabilizace matice[editovat | editovat zdroj]

V předchozí aplikaci byla zmíněna stabilní matice. Pokud matice dynamikého systému není stabilní, což se často stává, je třeba systém stabilizovat, tj. eliminovat vliv vlastních čísel s kladnou reálnou složkou ve zpětnovazební smyčce. To lze formálně realizovat znaménkovou funkcí. Nechť matice nemá žádné ryze imaginární vlastní číslo. Uvažujme dále, pro jednoduchost, že matice je normální, tj. . Protože znaménková funkce je v celé komplexní rovině, kromě imaginární osy, analytická, platí

Tedy matice

jsou ortogonální projektory na podprostory generované vlastními vektory matice odpovídajícími vlastním číslům se zápornou, resp. kladnou reálnou složkou.

Je-li nenormální, pak jsou šikmé projektory. Protože znaménková funkce má v celé komplexní rovině, kromě imaginární osy, nulové derivace, defektní matice (tj. s netriviálními Jordanovými bloky) nepřináší oproti diagonalizovatelným nenormálním maticím, alespoň v teorii, žádné komplikace navíc, jako tomu je u obecné funkce .


Příklad výpočtu[editovat | editovat zdroj]

Nechť , a nechť

je zadaná matice a její Jordanův rozklad. Exponenciála této matice je

Nechť , a nechť

je zadaná matice a její Jordanův rozklad. Sinus této matice je

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. a b Nicholas J. Higham, Function of Matrices. Theory and Computation, SIAM Publications, Philadelphia, PA, 2008

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. ISBN 978-80-7378-201-6. (Kapitola 2.4, Funkce matic, str. 47-49.)
  • G. H. Golub, C. F. Van Loan: Matrix Computations, Third Edition. The Johns Hopkins University Press, Baltimore a Londýn 1992. ISBN 0-8018-5414-8. (Kapitola 11, Functions of Matrices, str. 555-578.)

Související články[editovat | editovat zdroj]