Schurův rozklad

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V numerické lineární algebře se velmi často využívá Schurova rozkladu matice , především k výpočtu vlastních čísel matice.

Schurův rozklad obecné matice[editovat | editovat zdroj]

Jedná se o rozklad tvaru , kde je unitární matice a je horní trojúhelníková matice. Tato matice má na diagonále vlastní čísla matice .

Schurův rozklad normální matice[editovat | editovat zdroj]

Je-li navíc matice normální, tj. (speciálně je-li matice symetrická, hermitovská, antisymetrická, antihermitovská, ortogonální, nebo unitární), pak

je také matice normální. Porovnáním (diagonálních) prvků matic a zjistíme, že matice je diagonální.

Porovnáním prvních prvků prvního řádku rovnosti

dostaneme , . Analogicky postupujeme dále.

Schurova věta[editovat | editovat zdroj]

Pro libovolnou matici existuje unitární matice tak, že je horní trojúhelníková matice s vlastními čísly matice na diagonále v libovoném předepsaném pořadí. Je-li navíc matice normální, je matice diagonální.

Výpočet[editovat | editovat zdroj]

K výpočtu Schurova rozkladu se využívá QR algoritmu, který je založen na QR rozkladu. Avšak pro matici řádu většího nebo rovno 5 nelze obecně spočíst tento rozklad v konečném počtu kroků.