Moment hybnosti

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Moment hybnosti je vektorová fyzikální veličina, která popisuje rotační pohyb tělesa.

Moment hybnosti se určuje vzhledem k bodu nebo ose.

Moment hybnosti bývá také označován jako kinetický moment, impulsmoment nebo točivost.

Značení[editovat | editovat zdroj]

  • Symbol veličiny: , někdy také b (vektor)
  • Jednotka SI: kilogram krát metr na druhou za sekundu, značka jednotky: kg.m2.s-1

Definice[editovat | editovat zdroj]

Hybnost (p) Moment hybnosti (L) Moment síly (τ = M) Průvodič (r) Síla (F)

Moment hybnosti hmotného bodu vzhledem k počátku soustavy souřadnic je určen vektorovým součinem jeho průvodiče a hybnosti ,

.

Vztah k momentu síly[editovat | editovat zdroj]

Vyjdeme-li ze vztahu pro moment síly, pak lze provést následující úpravu

,

kde je polohový vektor, je rychlost, je hmotnost (hmotného bodu), je hybnost, je moment síly, je moment hybnosti, je síla. Při výpočtu bylo využito skutečnosti, že vektorový součin , tzn. v rovnici člen , je roven nule, a proto jej můžeme k rovnici bez obav přičíst. Tím bylo možno následně použít vzorec pro derivaci vektorového součinu.

Předchozí vztah lze slovně popsat tak, že změna momentu hybnosti vzhledem k danému bodu je co do velikosti i směru rovna momentu síly (vzhledem k témuž bodu), který na hmotný bod působí.

V soustavě hmotných bodů platí pro -tý hmotný bod podle vztah . Z vlastností momentu síly pak plyne

,

kde představuje celkový moment hybnosti.

Vztah k plošné rychlosti[editovat | editovat zdroj]

S využitím druhého Keplerova zákona lze vyjádřit vztah mezi plošnou rychlostí a momentem hybnosti jako

Vztah k mometu setrvačnosti[editovat | editovat zdroj]

Při kruhovém pohybu lze rychlost vyjádřit jako . Moment hybnosti soustavy hmotných bodů vzhledem k těžišti lze pak vyjádřit vztahem

kde označuje polohu -tého hmotného bodu s hmotností vzhledem k těžišti a je úhlová rychlost pohybu tělesa kolem osy rotace jdoucí těžištěm.

Použitím dvojitého vektorového součinu dostaneme

Točivost tělesa vzhledem k těžišti má tedy dvě složky. První má směr úhlové rychlosti, tedy směr osy rotace, druhá má ale jiný směr. Točivost tedy obecně nemá směr rotační osy. Označíme-li složky úhlové rychlosti vzhledem k libovolné soustavě souřadnic s počátkem v těžišti a pevně spojené s tělesem jako a složky průvodiče jako , můžeme předchozí vztah rozepsat do složek. Z vyjádření momentu setrvačnosti pak lze získat

kde jsou momenty setrvačnosti k -té ose a jsou deviační momenty.

Pokud vztáhneme složky točivosti k soustavě souřadnic totožné s hlavními osami centrálního elipsoidu setrvačnosti, deviační momenty vymizí, a složky točivosti vzhledem k hlavním osám budou

Pokud se těleso otáčí kolem osy, která je totožná s jednou z hlavních os setrvačnosti nebo kolem pevné osy, jsou složky úhlové rychlosti k osám kolmým k rotační ose nulové a točivost lze zapsat jako

Moment setrvačnosti je možno brát jako symetrický tenzor druhého řádu podle formule

(řecké indexy označují tři složky tenzorů, symbol označuje Kroneckerovo delta ). Moment hybnosti tělesa je potom možno vyjádřit ve tvaru

a rotační energii tělesa ve tvaru

Moment hybnosti tedy nemusí být nutně rovnoběžný s osou rotace, ale pokud nepůsobí vnější síla, zachovává svou velikost a směr. Naopak okamžitá osa rotace může vykonávat složitý precesní pohyb.

Rotační impuls[editovat | editovat zdroj]

Pro časový účinek momentu síly můžeme v analogii s impulsem síly získat vztah pro rotační impuls

Pokud je silový moment po celou dobu působení stálý, je možné předchozí výraz zjednodušit na tvar

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Moment hybnosti má při rotačním pohybu podobný význam jako hybnost při pohybu přímočarém. Tak jako je hybnost součinem hmotnosti a rychlosti v případě translačního pohybu, tak je moment hybnosti (tenzorovým) součinem momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti v případě rotačního pohybu.

Pro celkový moment hybnosti izolované soustavy platí jeden z nejdůležitějších fyzikálních zákonů, zákon zachování momentu hybnosti. Pokud je celkový moment vnějších sil působících na soustavu nulový, tak se její celkový moment hybnosti zachovává. Platí například pro pohyb v poli centrální síly, jako v případě planet obíhajících okolo Slunce (2. Keplerův zákon).

Součet momentů vnitřních sil[editovat | editovat zdroj]

Součet momentů vnitřních sil v tuhém tělese je roven nule, protože:

1. Dva body na sebe působí silou přitažlivou nebo odpudivou (tzn. má směr shodný se směrem jejich spojnice)

2. Působí-li bod A na bod B, pak bod B působí na bod A silou stejně velikou, ale opačně orientovanou

Uvažme tedy vzoreček pro moment sil: je moment hybnosti -tého bodu. Mezi -tým a -tým bodem působí síla . Celkový moment vnitřních sil je . Uvažujme nyní pouze interakci -tého a -tého bodu: ,

kde je spojnice -tého a -tého bodu. Dle prvního předpokladu na sebe tyto body působí silou, která je s jejich spojnicí rovnoběžná. A jak známo, vektorový součin rovnoběžných vektorů je roven nule.

Moment hybnosti v kvantové mechanice[editovat | editovat zdroj]

V kvantové mechanice je moment hybnosti vždy kvantován. Výsledkem měření jedné komponenty momentu hybnosti (impulsmomentu) můžou být pouze násobky redukované Planckovy konstanty. Kvantován je i kvadrát momentu hybnosti.

Zcela novou vlastností je spin částic, vnitřní moment hybnosti určité částice. Na rozdíl od orbitálního impulsmomentu, který byl zmíněn výše může nabývat komponenta spinu i poločíselných hodnot.

Při zavedení kvantového impulsmomentu vyjdeme z principu korespondence, kvantový impulsmoment je tedy definován takto:

Z komutačních relací pro souřadnici a impuls lze odvodit komutační relace pro impulsmoment:

Z těchto komutačních relací již plyne kvantování impulsmomentu. Pro vlastní vektory kvadrátu impulsmomentu a jeho třetí komponenty platí:

Kde l je nezáporné celé nebo polocelé číslo. Pro určitou hodnotu l může kvantové číslo m nabývat pouze hodnot -l,-l+1,...,l-1,l, tedy celkem 2l+1 hodnot.

Související články[editovat | editovat zdroj]