Moment setrvačnosti je fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení. Body (části) tělesa s větší hmotností a umístěné dál od osy mají větší moment setrvačnosti.
Při otáčivém pohybu soustavy hmotných bodů kolem nehybné osy opisují jednotlivé hmotné body kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení. Úhlová rychlost
všech bodů je stejná.
Celkovou kinetickou energii určíme jako součet kinetických energií všech
hmotných bodů soustavy, tzn.
,
kde
je hmotnost
-tého hmotného bodu,
je velikost jeho rychlosti,
je jeho (kolmá) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že rychlost bodu při kruhovém pohybu je přímo úměrná vzdálenosti bodu od osy otáčení, tzn.
.
Předchozí vztah lze upravit na tvar
,
kde veličina
představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem

V mechanice kontinua (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah
,
kde integrace se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti
.
Je-li
hustota tělesa, pak
, kde
je objem tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru

Integruje se přes objem celého tělesa
.
V případě, že je těleso homogenní, tzn.
, je možné předchozí vztah zjednodušit

Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa
a čtverce jisté střední vzdálenosti
, ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.

Vzdálenost
se nazývá poloměr setrvačnosti nebo gyrační poloměr.
Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.
- Moment setrvačnosti tyče délky
a hmotnosti
vzhledem k ose procházející středem tyče kolmo k její délce

- Moment setrvačnosti tyče délky
a hmotnosti
vzhledem k ose procházející koncem tyče kolmo k její délce

- Moment setrvačnosti koule o poloměru
a hmotnosti
vzhledem k ose procházející středem koule.

- Moment setrvačnosti plného válce o poloměru
a hmotnosti
vzhledem k ose souměrnosti.

- Moment setrvačnosti tlustostěnného pláště válce o vnitřním poloměru
a vnějším poloměru
a hmotnosti
vzhledem k ose souměrnosti.

- Moment setrvačnosti tenké obruče o poloměru
a hmotnosti
vzhledem k ose souměrnosti.

- Moment setrvačnosti obdelníku o rozměrech
a
a hmotnosti
vzhledem k normále od středu obdelníku.

Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo těžiště tělesa lze určit podle Steinerovy věty jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose procházející těžištěm a součinu hmotnosti a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.
,
kde
je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa,
je hmotnost tělesa a
je kolmá vzdálenost těžiště od osy otáčení.
Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy
úhlovou rychlostí
, má kinetická energie tohoto rotačního pohybu hodnotu
,
kde
je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose
,
je rychlost
-tého hmotného bodu soustavy, a
je polohový vektor
-tého hmotného bodu vzhledem k počátku zvolené soustavy souřadnic, kterým prochází osa
.
Vektor
, který směřuje podél osy
lze vyjádřit prostřednictvím jeho složek
vzhledem k souřadnicovým osám
. Předchozí vztah je pak možno rozepsat do tvaru
![{\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[{\left(\omega _{y}z_{i}-\omega _{z}y_{i}\right)}^{2}+{\left(\omega _{z}x_{i}-\omega _{x}z_{i}\right)}^{2}+{\left(\omega _{x}y_{i}-\omega _{y}x_{i}\right)}^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2934443fc26dfbc809f8f4329eb52cb127c69829)
a rozepíšeme-li v tomto výrazu jednotlivé mocniny, dostaneme po úpravě

Pro kinetickou energii pak dostáváme výraz
,
kde



jsou momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám
a



jsou deviační momenty.
Předchozí vztahy platí pro těleso popsané soustavou hmotných bodů. Považujeme-li hmotu v tělese za spojitě rozloženou, přejdeme od sumace k integraci a pro momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám dostaneme



Pro deviační momenty získáme podobně vztahy



Vektor
, který leží v ose
je možné využít k získání směrových kosinů rotační osy, tzn.
, kde
je velikost vektoru
. Po dosazení do výrazů pro kinetickou energii a po úpravě dostaneme výraz pro výpočet momentu setrvačnosti
vzhledem k ose, která svírá se souřadnicovými osami
úhly

Změní-li se směr osy
vzhledem k tělesu, změní se také velikost momentu setrvačnosti
. Toto rozložení charakterizuje elipsoid setrvačnosti.
Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. tenzoru setrvačnosti:
,
kde symbol
představuje tenzorový součin, jehož výsledkem je symetrická čtvercová matice.
Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k rovině, kdy mluvíme o plošném momentu setrvačnosti.
U plošného momentu setrvačnosti se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme
. Hmotnostní element
je pak
, kde
je plošná hustota zkoumané plochy (obecně závislá na
a
).
Plošné momenty setrvačnosti k osám
jsou tedy


Z deviačních momentů je nenulový pouze

Pokud je plocha homogenní (plošná hustota je konstantní), můžeme ji vytknout před integrál a vztahy se zjednoduší na



Namísto elipsoidu setrvačnosti dostáváme elipsu setrvačnosti.
Položíme-li do těžiště tělesa počátek pravoúhlé soustavy souřadnic, potom momenty setrvačnosti ke třem vzájemně kolmým rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou



Srovnáním s momenty setrvačnosti k osám
pak platí



Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. polární moment setrvačnosti.
Polární moment setrvačnosti části rovinné plochy (vzhledem k počátku souřadné soustavy
) je

- Jozef Kvasnica, Antonín Havránek, Pavel Lukáč, Boris Sprušil Mechanika, Nakladatel: Academia, ISBN 80-200-1268-0, EAN 9788020012685, Rok vydání: 2004 (2. vydání)
- Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
- Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
- Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7
- Online výpočet momentu setrvačnosti základních těles.