Moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti je fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení. Body (části) tělesa s větší hmotností a umístěné dál od osy mají větší moment setrvačnosti.

Značení

• Symbol veličiny: J , někdy také I
• Jednotka SI: kilogram krát metr na druhou, značka jednotky: kg.m²

Výpočet

Diskrétní rozložení hmoty

Při otáčivém pohybu soustavy hmotných bodů kolem nehybné osy opisují jednotlivé hmotné body kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení. Úhlová rychlost $\omega$ všech bodů je stejná.

Celkovou kinetickou energii určíme jako součet kinetických energií všech $n$ hmotných bodů soustavy, tzn.

$E_k = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} m_iv_i^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}m_i r_i^2 \omega^2$,

kde $m_i$ je hmotnost $i$-tého hmotného bodu, $v_i$ je velikost jeho rychlosti, $r_i$ je jeho (kolmá) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že rychlost bodu při kruhovém pohybu je přímo úměrná vzdálenosti bodu od osy otáčení, tzn. $v = \omega r$. Předchozí vztah lze upravit na tvar

$E_k = \frac{1}{2}\omega^2 \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 = \frac{1}{2}J \omega^2$,

kde veličina $J$ představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem

$J = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \cdots + m_n r_n^2 = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2$

Spojité rozložení hmoty

V mechanice kontinua (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah

$I = \int_M r^2 \mathrm{d}m$,

kde integrace se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti $M$.

Je-li $\rho$ hustota tělesa, pak $\mathrm{d}m=\rho\mathrm{d}V$, kde $V$ je objem tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru

$I = \int_V r^2\rho\mathrm{d}V$

Integruje se přes objem celého tělesa $V$.

V případě, že je těleso homogenní, tzn. $\rho = \mbox{konst.}$, je možné předchozí vztah zjednodušit

$I = \rho \int_V r^2\mathrm{d}V$

Poloměr setrvačnosti

Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa $M$ a čtverce jisté střední vzdálenosti $R$, ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.

$J = MR^2$

Vzdálenost $R = \sqrt{\frac{J}{M}}$ se nazývá poloměr setrvačnosti nebo gyrační poloměr.

Momenty setrvačnosti některých těles

Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.

• Moment setrvačnosti tyče délky $l$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose procházející středem tyče kolmo k její délce

$J = \frac{1}{12}m l^2$

• Moment setrvačnosti tyče délky $l$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose procházející koncem tyče kolmo k její délce

$J = \frac{1}{3}m l^2$

• Moment setrvačnosti koule o poloměru $r$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose procházející středem koule.

$J = \frac{2}{5}mr^2$

• Moment setrvačnosti plného válce o poloměru $r$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose souměrnosti.

$J = \frac{1}{2}mr^2$

• Moment setrvačnosti tlustostěnného pláště válce o vnitřním poloměru $r_1$ a vnějším poloměru $r_2$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose souměrnosti.

$J = \frac{1}{2}m\left(r_2^2+r_1^2\right)$

• Moment setrvačnosti tenké obruče o poloměru $r$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose otáčení.

$J = mr^2$

Steinerova věta

Související informace naleznete také v článku Steinerova věta.

Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo těžiště tělesa lze určit podle Steinerovy věty jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose procházející těžištěm a součinu hmotnosti a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.

$J = J_0 + m r_T^2$,

kde $J_0$ je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa, $m$ je hmotnost tělesa a $r_T$ je kolmá vzdálenost těžiště od osy otáčení.

Tenzor setrvačnosti

Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy $S$ úhlovou rychlostí $\mathbf{\omega}$, má kinetická energie tohoto rotačního pohybu hodnotu

$E_k = \frac{1}{2}J_S \omega^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_iv_i^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i {|\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i|}^2$,

kde $J_S$ je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose $S$, $v_i$ je rychlost $i$-tého hmotného bodu soustavy, a $\mathbf{r}_i$ je polohový vektor $i$-tého hmotného bodu vzhledem k počátku zvolené soustavy souřadnic, kterým prochází osa $S$.

Vektor $\mathbf{\omega}$, který směřuje podél osy $S$ lze vyjádřit prostřednictvím jeho složek $\omega_x, \omega_y, \omega_z$ vzhledem k souřadnicovým osám $x, y, z$. Předchozí vztah je pak možno rozepsat do tvaru

$E_k = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n m_i\left[{\left(\omega_yz_i-\omega_zy_i\right)}^2 + {\left(\omega_zx_i-\omega_xz_i\right)}^2 + {\left(\omega_xy_i-\omega_yx_i\right)}^2\right]$

a rozepíšeme-li v tomto výrazu jednotlivé mocniny, dostaneme po úpravě

$2E_k = \omega_x^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(y_i^2+z_i^2\right) + \omega_y^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(z_i^2+x_i^2\right) + \omega_z^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(x_i^2+y_i^2\right) - 2\omega_x\omega_y \sum_{i=1}^n m_ix_iy_i - 2\omega_y\omega_z \sum_{i=1}^n m_iy_iz_i - 2\omega_z\omega_x \sum_{i=1}^n m_iz_ix_i$

Pro kinetickou energii pak dostáváme výraz

$E_k = \frac{1}{2}\omega_x^2J_x + \frac{1}{2}\omega_y^2J_y + \frac{1}{2}\omega_z^2J_z - \omega_x\omega_yD_{xy} - \omega_y\omega_zD_{yz} - \omega_z\omega_xD_{zx}$,

kde

$J_x = \sum_{i=1}^n\left(y_i^2+z_i^2\right)m_i$

$J_y = \sum_{i=1}^n\left(z_i^2+x_i^2\right)m_i$

$J_z = \sum_{i=1}^n\left(x_i^2+y_i^2\right)m_i$

jsou momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám $x, y, z$ a

$D_{xy} = \sum_{i=1}^n x_iy_im_i$

$D_{yz} = \sum_{i=1}^n y_iz_im_i$

$D_{zx} = \sum_{i=1}^n z_ix_im_i$

jsou deviační momenty.

Předchozí vztahy platí pro těleso popsané soustavou hmotných bodů. Považujeme-li hmotu v tělese za spojitě rozloženou, přejdeme od sumace k integraci a pro momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám dostaneme

$J_x = \int_M (y^2+z^2)\mathrm{d}m$

$J_y = \int_M (z^2+x^2)\mathrm{d}m$

$J_z = \int_M (x^2+y^2)\mathrm{d}m$

Pro deviační momenty získáme podobně vztahy

$D_{xy} = \int_M xy\mathrm{d}m$

$D_{yz} = \int_M yz\mathrm{d}m$

$D_{zx} = \int_M zx\mathrm{d}m$

Vektor $\mathbf{\omega}$, který leží v ose $S$ je možné využít k získání směrových kosinů rotační osy, tzn. $\cos\alpha = \frac{\omega_x}{\omega}, \cos\beta=\frac{\omega_y}{\omega}, \cos\gamma=\frac{\omega_z}{\omega}$, kde $\omega$ je velikost vektoru $\mathbf{\omega}$. Po dosazení do výrazů pro kinetickou energii a po úpravě dostaneme výraz pro výpočet momentu setrvačnosti $J_S$ vzhledem k ose, která svírá se souřadnicovými osami $x, y, z$ úhly $\alpha, \beta, \gamma$

$J_S = J_x\cos^2\alpha + J_y\cos^2\beta + J_z\cos^2\gamma - 2D_{yz}\cos\beta\cos\gamma - 2D_{zx}\cos\gamma\cos\alpha - 2D_{xy}\cos\alpha\cos\beta$

Změní-li se směr osy $S$ vzhledem k tělesu, změní se také velikost momentu setrvačnosti $J_S$. Toto rozložení charakterizuje elipsoid setrvačnosti.

Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. tenzoru setrvačnosti:

$\bold{J} = \int{ \left( \bold{E} r^2 - r \otimes r \right) \, dm} = \int{ \left[ \begin{matrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\ -xz & -yz & x^2+y^2 \end{matrix} \right] dm}$,

kde symbol $\otimes$ představuje tenzorový součin, jehož výsledkem je symetrická čtvercová matice.

Plošný moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k rovině, kdy mluvíme o plošném momentu setrvačnosti.

U plošného momentu setrvačnosti se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme $z=0$. Hmotnostní element $\mathrm{d}m$ je pak $\sigma\mathrm{d}S$, kde $\sigma$ je plošná hustota zkoumané plochy (obecně závislá na $x$ a $y$).

Plošné momenty setrvačnosti k osám $x, y$ jsou tedy

$J_x = \int_S y^2\sigma\mathrm{d}S$

$J_y = \int_S x^2\sigma\mathrm{d}S$

Z deviačních momentů je nenulový pouze

$D_{xy} = \int_S xy\sigma\mathrm{d}S$

Pokud je plocha homogenní (plošná hustota je konstantní), můžeme ji vytknout před integrál a vztahy se zjednoduší na

$J_x = \sigma\int_S y^2\mathrm{d}S$

$J_y = \sigma\int_S x^2\mathrm{d}S$

$D_{xy} = \sigma\int_S xy\mathrm{d}S$

Namísto elipsoidu setrvačnosti dostáváme elipsu setrvačnosti.

Položíme-li do těžiště tělesa počátek pravoúhlé soustavy souřadnic, potom momenty setrvačnosti ke třem vzájemně kolmým rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou

$J_{xy} = \int_M z^2\mathrm{d}m$

$J_{yz} = \int_M x^2\mathrm{d}m$

$J_{zx} = \int_M y^2\mathrm{d}m$

Srovnáním s momenty setrvačnosti k osám $x, y, z$ pak platí

$J_x = J_{xy} + J_{zx}$

$J_y = J_{xy} + J_{yz}$

$J_z = J_{yz} + J_{zx}$

Polární moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. polární moment setrvačnosti.

Polární moment setrvačnosti části rovinné plochy (vzhledem k počátku souřadné soustavy $[0,0]$) je

$J_p = J_x+J_y = \int_S(x^2+y^2)\sigma\mathrm{d}S = \int_S r^2\sigma\mathrm{d}S$

Související články

• Mechanika
• Mechanika tuhého tělesa
• Steinerova věta

Literatura

• Jozef Kvasnica, Antonín Havránek, Pavel Lukáč, Boris Sprušil Mechanika, Nakladatel: Academia, ISBN 80-200-1268-0, EAN 9788020012685, Rok vydání: 2004 (2. vydání)
• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
• Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7