Steinerova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Steinerova věta umožňuje vypočítat moment setrvačnosti tělesa rotujícího kolem osy, která neprochází jeho těžištěm. Je tak například možné vypočítat moment setrvačnosti tělesa složeného z několika základních těles, stačí znát momenty setrvačnosti jednotlivých těles a vzdálenost jejich těžišť od těžiště složeného tělesa.

Základní znění[editovat | editovat zdroj]

"Moment setrvačnosti k mimotěžišťní ose je roven součtu momentu k těžišťní ose a součinu hmotnosti a čtverce vzdálenosti obou rovnoběžných os."

Základní vzorec[editovat | editovat zdroj]

Za předpokladu, že J_T představuje moment setrvačnosti tělesa k ose procházející těžištěm, m hmotnost tělesa a r_T vzdálenost osy rotace od těžiště, potom lze moment setrvačnosti J k dané ose vypočítat následovně.

J = J_T + m \, r_T^2

Tenzorový počet[editovat | editovat zdroj]

Pro tenzor setrvačnosti lze Steinerovu větu formulovat následovně (E je jednotková matice, rT je vektor se složkami (xT, yT, zT) popisující vzdálenost osy rotace od těžiště, symbol \otimes značí tenzorový součin):

\bold J = \bold J_T + m \left( \bold E \bold r_T^2 - \bold r_T \otimes \bold r_T \right) = \bold J_T + m \left[ \begin{matrix} y_T^2+z_T^2 & -x_T y_T & -x_T z_T \\ -x_T y_T & x_T^2+z_T^2 & -y_T z_T \\ -x_T z_T & -y_T z_T & x_T^2+y_T^2 \end{matrix} \right].

Důsledek[editovat | editovat zdroj]

Ze všech rovnoběžných os otáčení má těleso nejmenší moment setrvačnosti vzhledem k té, která prochází jeho těžištěm.

Související články[editovat | editovat zdroj]