Tenzorový součin

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Tenzorový součin dvou vektorových prostorů a nad stejným číselným tělesem je v matematice vektorový prostor disponující takovým bilineárním zobrazením z kartézského součinu a na které je „nejuniverzálnější“ ze všech možných bilineárních zobrazení z v tom smyslu, že každé jiné bilineární zobrazení jednoznačně lineárně faktorizuje nad . To znamená, že ke každému bilineárnímu zobrazení na vektorový prostor nad tělesem existuje jednoznačně definované lineární zobrazení tak, že , čili že pro libovolný pár vektorů platí Pokud takový vektorový prostor existuje, je až na izomorfismus jednoznačný, tj. pro každý jiný s univerzálním bilineárním zobrazením existuje izomorfismus tak, že Prostor se značí a příslušné bilineární zobrazení se píše . Definici tenzorového součinu lze indukcí zobecnit na více vektorových prostorů: atd.

Ve fyzice se pro vektorový prostor s duálním prostorem (často ) prvky tenzorového součinu

označují jako tenzory kontravariantní stupně a kovariantní stupně . Mluví se pak o tenzorech typu .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Má-li prostor dimenzi a dimenzi , pak má dimenzi . Bázi lze zkonstruovat jako množinu všech uspořádaných dvojic , kde jsou bázové vektory a bázové vektory

Tenzorový součin obecně není komutativní, jakožto bilineární zobrazení je však distributivní a asociativní. Pro všechny a libovolné tedy platí:

(1)
(2)
(3)