Hamiltonův operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Hamiltonův operátor neboli hamiltonián je operátor energie v kvantové mechanice, který ve většině případů odpovídá celkové energii soustavy. Je pojmenován po siru W. R. Hamiltonovi a značí se . Matematicky jde o hermitovský, většinou diferenciální, operátor na Hilbertovu prostoru komplexních vlnových funkcí. Jeho význam je dán spojitostí s popisem časového vývoje v kvantové mechanice, viz Schrödingerova rovnice. Dále pak tím, že možné hodnoty energie, kterých může nabýt systém popsaný hamiltoniánem , patří do jeho spektra.

Odvození klasického tvaru[editovat | editovat zdroj]

Pro bodovou částici je její celková mechanická energie součtem kinetické a potenciální energie. Operátor kinetické energie získáme dosazením operátoru hybnosti () do klasického vztahu . Hamiltonián pak můžeme zapisovat výhodně ve tvaru

kde je hmotnost částice, je Laplaceův operátor (součet druhých derivací podle kartézských souřadnic) a je potenciální energie silového pole, v němž se částice pohybuje. Hamiltonián v této podobě je klíčovou součástí Schrödingerovy rovnice. Ta popisuje vývoj vlnové funkce v čase, který interpretujeme jako pohyb částice, jde tedy o kvantovou rovnici pohybu.

Spektrum[editovat | editovat zdroj]

Spektrum Hamiltoniánu vyjadřuje možné hodnoty energie částice. Například pro elektron v elektrickém poli protonu známe průběh potenciální energie z Coulombova zákona. Hamiltonián má tedy tvar

kde je hmotnost elektronu, je elektrický náboj elektronu, je Ludolfovo číslo, je permitivita vakua a je vzdálenost od protonu. Spektrum tohoto operátoru dává možné energie

kde je tzv. Bohrův poloměr (0,53×10−10 m) a je kvantové číslo. Rozdíly mezi těmito hladinami přesně odpovídají pozorovanému absorpčnímu spektru nejjednoduššího prvku v přírodě - vodíku. Záporné znaménko energie odpovídá vázanému stavu - na ionizaci atomu vodíku v základním stavu je třeba dodat kladnou energii E1=2,179×10−18 J.

Relativistická verze[editovat | editovat zdroj]

Schrödingerova rovnice s výše uvedeným výrazem pro Hamiltonián není invariantní vůči Lorentzově transformaci, takže je nesprávná z hlediska teorie relativity. V relativistické mechanice je výraz pro energii složitější, takže musí být modifikován i Hamiltonián. Jeden z možných přístupů k tomuto zpřesnění lze nalézt v hesle Diracova rovnice, kde je i relativisticky opravený výraz pro Hamiltonián.

kde jsou souřadnice vektoru hybnosti a jsou vhodně zvolené matice. V Diracově (standardní) reprezentaci jsou to matice

jsou přitom Pauliho matice a značí jednotkovou matici 2×2.

Komutování s jinými operátory[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Komutátor (algebra).

Vodíkový hamiltonián (nebo hamiltonián vodíku podobného atomu, tzn. s jedním elektronem) uvedený výše komutuje s operátory kvadrátu momentu hybnosti L2 a každou jeho složkou. Jednotlivé složky momentu hybnosti ale nekomutují mezi sebou, proto je řešení atomů určeno třemi kvantovými čísly.

Víceelektronové atomy mají hamiltonián skládající se z několika jednoelektronových a dále pak z členů odpovídající vzájemné coulombické interakci mezi jednotlivými elektrony. Např. Lithium má hamiltonián

S tímto hamiltoniánem komutují operátory orbitálního momentu hybnosti L=L1+L2+L3 (což plyne z vyjádření a z toho, že ) i Lz=Lz1+Lz2+Lz3, opět máme tedy tři kvantová čísla.

Dále Hamiltonián často komutuje s operátory spinů nebo prohození částic.

Související články[editovat | editovat zdroj]