Hamiltonův operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Hamiltonův operátor neboli hamiltonián je operátor energie v kvantové mechanice. Je pojmenován po siru W. R. Hamiltonovi a značí se \hat H. Matematicky jde o hermitovský diferenciální operátor nad Hilbertovým prostorem komplexních vlnových funkcí. Zapisujeme jej jako

\hat H = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\,,

kde i je imaginární jednotka, \hbar je redukovaná Planckova konstanta, zlomek označuje parciální derivaci podle času.

Odvození klasického tvaru[editovat | editovat zdroj]

Celková mechanická energie je součet kinetické a potenciální energie. Operátor kinetické energie získáme dosazením operátoru hybnosti (\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla) do klasického vztahu T = \frac12 m\mathbf{v}^2 = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}. Hamiltonián pak můžeme zapisovat výhodně ve tvaru

\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V\,,

kde m je hmotnost částice, \Delta je Laplaceův operátor (součet druhých derivací podle prostorových souřadnic) a V=V({\mathbf r},t) je potenciální energie silového pole, v němž se částice pohybuje. Hamiltonián v této podobě je klíčovou součástí Schrödingerovy rovnice. Ta popisuje vývoj vlnové funkce v čase, který interpretujeme jako pohyb částice, jde tedy o kvantovou rovnici pohybu.

Spektrum[editovat | editovat zdroj]

Spektrum Hamiltoniánu vyjadřuje možné hodnoty energie částice. Například pro elektron v elektrickém poli protonu známe průběh potenciální energie z Coulombova zákona. Hamiltonián má tedy tvar

\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta - \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r} \,,

kde m_e je hmotnost elektronu, e je elektrický náboj elektronu, \pi je Ludolfovo číslo, \varepsilon_0 je permitivita vakua a r je vzdálenost od protonu. Spektrum tohoto operátoru dává možné energie

E_n = - \frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{2a_B}\frac1{n^2}\,,

kde a_B je tzv. Bohrův poloměr (0,53×10-10 m) a n je kvantové číslo. Rozdíly mezi těmito hladinami přesně odpovídají pozorovanému absorpčnímu spektru nejjednoduššího prvku v přírodě - vodíku. Záporné znaménko energie odpovídá vázanému stavu - na ionizaci atomu vodíku v základním stavu je třeba dodat kladnou energii E1=2,179×10-18 J.

Relativistická verze[editovat | editovat zdroj]

Schrödingerova rovnice s výše uvedeným výrazem pro Hamiltonián není invariantní vůči Lorentzově transformaci, takže je nesprávná z hlediska teorie relativity. V relativistické mechanice je výraz pro energii složitější, takže musí být modifikován i Hamiltonián. Jeden z možných přístupů k tomuto zpřesnění lze nalézt v hesle Diracova rovnice, kde je i relativisticky opravený výraz pro Hamiltonián.

 \hat H = \,\gamma_0 m + \sum_{j = 1}^3 \gamma_j p_j \, ,

kde p_j jsou souřadnice vektoru hybnosti a \gamma_i jsou vhodně zvolené matice. V Diracově (standardní) reprezentaci jsou to matice

\gamma^0=\begin{pmatrix}I & 0\\0&-I\end{pmatrix}\,,
\gamma^{i}=\begin{pmatrix}0 & {\sigma}_{i}\\-{\sigma}_{i}&0\end{pmatrix}\,.

{\sigma}_{i} jsou přitom Pauliho matice a I značí jednotkovou matici 2×2.

Komutování s jinými operátory[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Komutátor (algebra).

Vodíkový hamiltonián (nebo hamiltonián vodíku podobného atomu, tzn. s jedním elektronem) uvedený výše komutuje s operátory kvadrátu momentu hybnosti L2 a každou jeho složkou. Jednotlivé složky momentu hybnosti ale nekomutují mezi sebou, proto je řešení atomů určeno třemi kvantovými čísly.

Víceelektronové atomy mají hamiltonián skládající se z několika jednoelektronových a dále pak z členů odpovídající vzájemné coulombické interakci mezi jednotlivými elektrony. Např. Lithium má hamiltonián

\hat H = \left (-\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta_1 - \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_1} \right ) +  \left ( -\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta_2 - \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_2} \right ) + \left ( -\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta_2 - \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_2} \right ) + \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_{12}} + \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_{13}} + \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_{23}}.

S tímto hamiltoniánem komutují operátory orbitálního momentu hybnosti L=L1+L2+L3 (což plyne z vyjádření \hat{\overrightarrow L} = \hat{\overrightarrow r} \times \hat{\overrightarrow p} a z toho, že \overrightarrow r \times \overrightarrow n = \overrightarrow 0) i Lz=Lz1+Lz2+Lz3, opět máme tedy tři kvantová čísla.

Dále Hamiltonián často komutuje s operátory spinů nebo prohození částic.

Související články[editovat | editovat zdroj]