Hamiltonova funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Hamiltonova funkce (též označovaná jako hamiltonián - pod tímto pojmem však bývá obvykle myšlen Hamiltonův operátor) označuje ve fyzice funkci vyjadřující energii fyzikálního systému v zobecněných souřadnicích a hybnostech.

Hamiltonova funkce hraje důležitou úlohu v Hamiltonovské formulaci mechaniky.

Funkce je pojmenována po Williamu Rowanu Hamiltonovi.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Hamiltonova funkce mechanického systému s stupni volnosti je definována vztahem:

,

kde je Lagrangeova funkce systému a na pravé straně jsou zobecněné rychlosti vyjádřené jako funkce zobecněných souřadnic , zobecněných hybností a případně času , tzn.

.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Hamiltonova funkce se nemění při pohybu, u kterého Lagrangeova funkce není explicitně závislá na čase. Dosadí-li se totiž Lagrangeovy pohybové rovnice do totální derivace Lagrangeovy funkce:

,

poslední člen je vzhledem k explicitní nezávislosti lagrangiánu nulový, a dosadí-li se Lagrangeovy pohybové rovnice, vychází:

Lagrangeovu funkci lze získat z Hamiltonovy funkce dosazením za zobecněných souřadnic, rychlostí a času podle Hamiltonových rovnic.

Přechod od Lagrangeovy k Hamiltonově funkci, tedy přechod od proměnných k proměnným , se nazývá Legendreova duální transformace.

Hustota hamiltoniánu[editovat | editovat zdroj]

Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota hamiltoniánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem

Jednoduché příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Hamiltonova funkce relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s ):

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. Redakce Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech. 1. vyd. Praha: Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 3.10.1 Hamiltonovy rovnice, 3.10.2 Legendrova duální transformace, s. 329-330. 
  • LEECH, J. W. Klasická mechanika. 1. vyd. Praha: SNTL, 1970. 136 s. (Teoretická knižnice inženýra). 04-012-70. Kapitola Hamiltonova funkce, s. 45-46. 

Související články[editovat | editovat zdroj]