Hamiltonova funkce

Hamiltonova funkce (též označovaná jako hamiltonián - pod tímto pojmem však bývá obvykle myšlen Hamiltonův operátor) označuje ve fyzice funkci vyjadřující energii fyzikálního systému v zobecněných souřadnicích a hybnostech.

Hamiltonova funkce hraje důležitou úlohu v Hamiltonovské formulaci mechaniky.

Funkce je pojmenována po Williamu Rowanu Hamiltonovi.

Definice

Hamiltonova funkce mechanického systému s $m\,$ stupni volnosti je definována vztahem:

$H(q_{1},q_{2},....q_{m},p_{1},p_{2},....p_{m},t)=\sum _{i=1}^{m}{\dot {q}}_{i}\,p_{i}-L(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)$,

kde $L\,$ je Lagrangeova funkce systému a na pravé straně jsou zobecněné rychlosti ${\dot {\mathbf {q} }}$ vyjádřené jako funkce zobecněných souřadnic $q_{1},q_{2},....q_{m}\,$, zobecněných hybností $p_{1},p_{2},....p_{m}\,$ a případně času $t$, tzn.

${\dot {q}}_{j}={\dot {q}}_{j}(q_{1},q_{2},....q_{m},p_{1},p_{2},....p_{m},t)$.

Vlastnosti

Hamiltonova funkce se nemění při pohybu, u kterého Lagrangeova funkce není explicitně závislá na čase. Dosadí-li se totiž Lagrangeovy pohybové rovnice do totální derivace Lagrangeovy funkce:

${\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial L}{\partial t}}=\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}$,

poslední člen je vzhledem k explicitní nezávislosti lagrangiánu nulový, a dosadí-li se Lagrangeovy pohybové rovnice, vychází:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-L\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L\right)={\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=0$

Lagrangeovu funkci $L(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)$ lze získat z Hamiltonovy funkce $H(q_{1},q_{2},....q_{m},p_{1},p_{2},....p_{m},t)\,$ dosazením za $p_{j}\,$ zobecněných souřadnic, rychlostí a času podle Hamiltonových rovnic.

Přechod od Lagrangeovy k Hamiltonově funkci, tedy přechod od proměnných $q_{j},{\dot {q}}_{j}$ k proměnným $q_{j},p_{j}\,$, se nazývá Legendreova duální transformace.

Hustota hamiltoniánu

Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota hamiltoniánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem

$H=\int {\mathcal {H}}(q_{j}(\mathbf {x} ),p_{j}(\mathbf {x} ),t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x}$

Jednoduché příklady

• Hamiltonova funkce pro pohyb volné částice (hmotného bodu):

$H={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}$

• Hamiltonova funkce částice s nábojem $q\,$ v elektromagnetickém poli s elektrickým potenciálem $\varphi \,$ a vektorovým potenciálem ${\vec {A}}$:

$H={\frac {({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}}{2m}}+q\varphi$

• Hamiltonova funkce relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s $q\,$):

$H={\sqrt {m^{2}c^{4}+({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}c^{2}}}+q\varphi$

Literatura

• BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. Redakce Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech. 1. vyd. Praha: Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 3.10.1 Hamiltonovy rovnice, 3.10.2 Legendrova duální transformace, s. 329–330. 
• LEECH, J. W. Klasická mechanika. 1. vyd. Praha: SNTL, 1970. 136 s. (Teoretická knižnice inženýra). 04-012-70. Kapitola Hamiltonova funkce, s. 45–46. 

Související články

• Hamiltonovská formulace mechaniky
• Hamiltonův operátor
• Lagrangeova funkce

Autoritní data	GND: 4323257-7