Diracova rovnice

Diracova rovnice je kvantová relativistická rovnice, popisující chování hmotných částic se spinem ½. Popisuje například chování elektronu – to bylo Diracovou motivací k sestavení rovnice.

Kovariantní zápis rovnice

Diracova rovnice je diferenciální rovnice prvního řádu pro vlnovou funkci $\psi (x)$. Na rozdíl od nerelativistické kvantové mechaniky ovšem vlnová funkce není komplexní funkce, ale čtyřkomponentní objekt obvykle nazývaný spinor

$\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }\,\partial _{\mu }-mc^{2}\right)\psi =0.$

Je implicitně použita Einsteinova sumační konvence přes $\mu =0,1,2,3$. V rovnici vystupuje

• $m$ – klidová hmotnost částice (relativistický invariant)
• $c$ – rychlost světla
• $\hbar$ – redukovaná Planckova konstanta

V teoretických úvahách se často užívají přirozené soustavy jednotek, kde $c=1$ a $\hbar =1$.

• $\partial _{\mu }$ – parciální derivace podle souřadnice, $\mu$ je relativistický index; běžně 0 označuje časovou složku a 1,2,3 prostorové složky.
• $\gamma ^{\mu }$ – Diracovy gama matice.

Diracovy matice jsou komplexní 4×4 matice, splňující antikomutační relace

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }\cdot I,$

kde $g^{\mu \nu }$ je metrika plochého prostoročasu ve speciální teorii relativity s volbou signatury (+,−,−,−). Tyto relace definují Cliffordovu algebru zvanou Diracova algebra. Obvykle se volí matice

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\end{pmatrix}},$

které tvoří tzv. standardní reprezentaci, přičemž $\sigma _{i}$ jsou Pauliho matice. Jiné volby splňující definující relace se liší jen podobnostní transformací.

Uhodnutí rovnice a porovnání se Schrödingerovou rovnicí

Uvažme Schrödingerovu rovnici:

$H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left|\psi (t)\right\rangle ,$

kde pro volnou částici v nerelativistické mechanice hamiltonián odpovídá kinetické energii:

$H=\sum _{j=1}^{3}{\frac {p_{j}^{2}}{2m}}$

V relativistické mechanice je energie dána vztahem

$E={\sqrt {(mc^{2})^{2}+\sum _{j=1}^{3}(p_{j}c)^{2}}}$

a není jasné, jak výrazu s odmocninou přiřadit kvantový operátor. S přirozenou volbou jednotek ($c=\hbar =1$) můžeme uhodnout:

$m^{2}+\sum _{j=1}^{3}p_{j}^{2}=\left(\alpha _{0}m+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\right)^{2},$

kde $\alpha _{\mu }$ jsou dosud neznámé konstanty. Roznásobením dostaneme antikomutační relace

$\left\{\alpha _{\mu },\alpha _{\nu }\right\}=2\delta _{\mu \nu }\cdot I.$

Nejjednodušší objekty, pro které lze relaci splnit, jsou matice 4×4. Dirac nalelzl vyhovující sadu matic (dnes známou jako Diracova reprezentace):

$\alpha ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \alpha ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}.$

Relativistický hamiltonián a tvar Schrödingerovy rovnice pro spinor pak je

$H=\alpha _{0}m+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j},$

$\left(\alpha _{0}m+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t).$

Pro převod na kovariantní zápis použijeme souřadnicovou reprezentaci hybnosti

$\mathbf {p} \psi (\mathbf {x} ,t)=-i\nabla \psi (\mathbf {x} ,t)$

a vztah mezi $\gamma$ a $\alpha$ maticemi:

$\gamma ^{0}\equiv \alpha _{0},\quad \gamma ^{j}\equiv \alpha _{0}\alpha _{j}.$

Zápis ve Feynmanově „slash“ notaci

Definujeme „přeškrtnutí“ (angl. a běžně i v českém prostředí „slash“ nebo „Feynmanův symbol“) jako

$a\!\!\!/\equiv \gamma ^{\mu }a_{\mu }.$

Diracovu rovnici lze pak zapsat ve tvaru

$(i\hbar c\,\partial \!\!\!/-mc^{2})\psi =0.$

S přirozenými jednotkami ($\hbar =c=1$) obdržíme úsporný zápis:

$(i\,\partial \!\!\!/-m)\psi =0.$

Autoritní data	BNF: cb119785327 (data) GND: 4150116-0 LCCN: sh85038246 NLI: 987007555300005171