Diracova rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Diracova rovnice je kvantová relativistická rovnice, popisující chování hmotných částic se spinem ½. Popisuje například chování elektronu – to bylo Diracovou motivací k sestavení rovnice.

Kovariantní zápis rovnice[editovat | editovat zdroj]

Diracova rovnice je diferenciální rovnice prvního řádu pro vlnovou funkci ψ(x). Na rozdíl od nerelativistické kvantové mechaniky ovšem vlnová funkce není komplexní číslo, ale čtyřkomponentní objekt obvykle nazývaný spinor.

V rovnici vystupuje

V teoretických úvahách se často užívají přirozené soustavy jednotek, kde c=1 a

  • – parciální derivace podle souřadnice, μ je běžný relativistický index, v jedné z běžných konvencí konvenci může např. 0 indexovat časovou souřadnici a 1, 2, 3 prostorové
  • – Diracovy γ matice

Diracovy matice jsou komplexní 4×4 matice, splňující antikomutační relace

kde g je metrika (speciálně relativistická, tedy plochého prostoročasu, s volbou signatury +---). Tyto relace definují Cliffordovu algebru zvanou Diracova algebra. Obvykle se volí matice

,

které tvoří takzvanou standardní reprezentaci. Je dokázáno, že jiné volby splňující definující relace se liší jen podobnostní transformací, σ jsou Pauliho matice.

Uhodnutí rovnice a porovnání s Schrödingerovou rovnicí[editovat | editovat zdroj]

Uvažme Schrödingerovu rovnici

V nerelativistické mechanice Hamiltonián odpovídá nerelativistickému výrazu pro kinetickou energii volné částice

V relativistické mechanice je výraz pro energii komplikovanější

a není jasné, jak výrazu s odmocninou přiřadit v kvantové mechanice operátor. (Nadále užíváme obvyklou relativistickou volbu jednotek, kde c=1 a .)

Uhodneme vhodný přístup

,

kde α jsou konstanty zatím neznámé povahy. Roznásobením, aby rovnice platila, získáme pro tyto α antikomutační relace

Ukazuje se, že nejjednodušší objekty, pro které je možné relaci splnit, jsou matice 4×4. Vyhovující sadu matic Dirac našel (dnes se označuje jako Diracova reprezentace):

,

Tím získáme vhodný relativistický Hamiltonián

a Diracovu rovnici ve tvaru, který připomíná Schrödingerovou rovnici.

.

K převodu mezi tvary stačí dosadit za operátor hybnosti v souřadnicové reprezentaci

vynásobit obě strany α0. Výsledkem je už uvedený relativistický zápis rovnice a vztah mezi γ a α maticemi.

Zápis ve Feynmanově „slash“ notaci[editovat | editovat zdroj]

Definujeme „přeškrtnutí“ (angl. a běžně i v českém prostředí „slash“ nebo jako „Feynmanův symbol“) jako

Diracovu rovnici lze v této Feynmanově notaci zapsat ve tvaru

kde je rychlost světla ve vakuu a je Planckova konstanta. S relativistickou volbou jednotek () pak obdržíme zvláště úsporný zápis