Laplaceův operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Laplaceův operátor (nebo jen Laplace) je diferenciální operátor ve vektorové analýze, definovaný jako divergence gradientu daného skalárního, nebo obecně tenzorového pole. Je-li aplikován na skalární pole, výsledkem je opět skalární pole, je-li aplikován na tenzorové pole, výsledkem je tenzorové pole stejného řádu. Bývá označován symbolem .

Laplace je invariantní vůči transformaci souřadnic.

Matematický popis[editovat | editovat zdroj]

Definice Laplaceova operátoru zapsaná pomocí operátoru nabla, resp. pomocí operátorů divergence a gradientu, má tvar

.

Ačkoliv je tato definice nezávislá na soustavě souřadnic, v n-rozměrném euklidovském prostoru se zapisuje jako

nebo speciálně

v prostoru trojrozměrném euklidovském.

Důležitým speciálním případem Laplaceova operátoru je jeho vyjádření v Minkowského čtyřrozměrném prostoru, které se často používá v teorii relativity při popisu dějů v prostoročasu. Toto vyjádření se nazývá d'Alembertův operátor, značí se symbolem [pozn. 1] a má tvar

Vyjádření v různých soustavách souřadnic[editovat | editovat zdroj]

Následující vztahy udávají hodnotu Laplaceova operátoru v nejrůznějších souřadných soustavách v trojrozměrném prostoru. Je-li funkce f skalární pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

Ve sférických souřadnicích:

nebo ekvivalentní tvar ve sférických souřadnicích

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x1,x2,x3, jejichž Laméovy koeficienty jsou po řadě h1,h2,h3, je vyjádření Laplaceova operátoru

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) se pak Laplaceův operátor zapíše jako divergence gradientu, tedy

kde g označuje absolutní hodnotu determinantu metrického tenzoru. Poslední vzorec platí v riemannovských prostorech libovolné dimenze.

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. Výjimečně se lze ve fyzikální literatuře setkat se zápisem d'Alembertova operátoru symbolem ; symbol je v takových případech zpravidla vyhrazen čtyřvektoru operátoru gradientu, tj. čtyřrozměrnému zobecnění operátoru nabla.

Související články[editovat | editovat zdroj]