Divergence

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Vektorové pole na obrázku má kladnou divergenci, protože tok ven převažuje a tato vlastnost zůstane i po limitním stažení kruhu do bodu.
Tento článek je o operátoru v matematice. Další významy jsou uvedeny na stránce Divergence (rozcestník).

Ve vektorovém počtu je divergence diferenciální operátor udávající zřídlovost vektorového pole. Udává, zda tok vyjádřený vektorovým polem v daném místě sílí či slábne a jak intenzivně. Je-li např. zkoumaným polem tok tepla, potom v případě stacionárního vedení tepla kladná divergence v daném bodě znamená, že v daném bodě vzniká teplo, záporná naopak, že v daném místě teplo zaniká.

V praktických aplikacích divergence figuruje v rovnici kontiniuty a používá se tak k modelování vedení tepla, difuze, proudění podzemní vody a obecně k matematickému modelování transportních dějů..

Ve vektorové analýze divergenci využívá Gaussova věta, která převádí výpočet toku vektorového pole uzavřenou plochou na výpočet integrálu divergence daného vektorového pole přes objem plochou uzavřený.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li , , kartézské souřadnice v 3-rozměrném Eukleidovském prostoru, a , , je odpovídající báze jednotkových vektorů, a

je spojitě diferencovatelné vektorové pole, potom jeho divergenci označujeme nebo a definujeme jako skalární veličinu

Přestože je divergence definována v kartézských souřadnicích, jde o invariantní veličinu, která nabývá stejných hodnot ve všech souřadných soustavách.

V n-rozměrném prostoru lze operátor divergence vyjádřit prostřednictvím skalárního součinu operátoru nabla a vektoru , tzn.

.

S využitím Einsteinova sumačního pravidla můžeme psát zkráceně

Derivací tenzoru -tého řádu dostaneme tenzor řádu se složkami . Kontrakcí indexu proti indexu získáme divergenci tenzoru , což je tenzor řádu .

Divergence tedy snižuje řád tenzoru o jedničku, např. divergencí vektoru získáme skalár.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Označíme-li , vektorová pole, skalární pole, , reálná čísla, potom operátor divergence splňuje následující identity: Je lineární vůči reálným číslům

aplikována na součin funkce a vektorového pole splňuje identitu

.

Pro divergenci vektorového součinu platí

,

kde je rotace .

Divergence rotace je rovna nule:

.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic[editovat | editovat zdroj]

Následující vztahy udávají vyjádření divergence v nejrůznějších souřadných soustavách v trojrozměrném prostoru. Je-li vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích má operátor divergence tvar

Ve sférických souřadnicích má operátor divergence tvar

V obecných ortogonálních souřadnicích má divergence s využitím Laméových koeficientů ,, tvar

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru divergence platí

Úmluva: Zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou. Stejně tak v předchozím textu nerozlišujeme polohu indexů a všechny indexy (ortonormální báze i souřadnic) píšeme dole, zatímco v obecných souřadnicích polohu indexů důsledně rozlišujeme.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]