Divergence

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o operátoru v matematice. Další významy jsou uvedeny v článku Divergence (rozcestník).

Ve vektorovém počtu je divergence diferenciální operátor udávající zřídlovost vektorového pole. Je-li např. zkoumaným polem gradient teploty (vektory nechť udávají např. rychlost vedení tepla), potom kladná divergence v daném bodě znamená, že v daném bodě vzniká teplo, záporná naopak, že v daném místě teplo zaniká.

Divergence využívá Gaussova věta, která převádí výpočet toku vektorového pole uzavřenou plochou na výpočet integrálu divergence daného vektorového pole přes objem plochou uzavřený.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li x, y, z kartézské souřadnice v 3-rozměrném Eukleidovském prostoru, a ex, ey, ez je odpovídající báze jednotkových vektorů, a

je spojitě diferencovatelné vektorové pole, potom jeho divergenci definujeme jako skalární veličinu

Přestože je divergence definována v kartézských souřadnicích, jde o invariantní veličinu, která nabývá stejných hodnot ve všech souřadných soustavách.

V n-rozměrném prostoru lze operátor divergence vyjádřit prostřednictvím skalárního součinu operátoru nabla na vektoru v, tzn.

,

kde bylo použito Einsteinova sumačního pravidla.

Operátor divergence bývá také zapisován jako

Derivací tenzoru T n-tého řádu dostaneme tenzor řádu n+1 se složkami . Kontrakcí indexu t proti indexu s získáme divergenci tenzoru T, což je tenzor řádu n-1.

Divergence tedy snižuje řád tenzoru o 1, např. divergencí vektoru získáme skalár.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Označíme-li F, G vektorová pole, f skalární pole, a,b reálná čísla, potom operátor divergence splňuje následující identity: Je lineární vůči reálným číslům

aplikována na součin funkce a vektorového pole splňuje identitu

.

Pro divergenci vektorového součinu platí

,

kde ∇ × F je rotace F.

Dále divergence rotace je rovna nule:

.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic[editovat | editovat zdroj]

Následující vztahy udávají vyjádření divergence v nejrůznějších souřadných soustavách v trojrozměrném prostoru. Je-li F vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

Ve sférických souřadnicích:

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x1,x2,x3, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h1,h2,h3

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru divergence platí

Úmluva: Zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou. Stejně tak v předchozím textu nerozlišujeme polohu indexů a všechny indexy (ortonormální báze i souřadnic) píšeme dole, zatímco v obecných souřadnicích polohu indexů důsledně rozlišujeme.

Související články[editovat | editovat zdroj]