Vlnová rovnice

Vlnová rovnice je významnou hyperbolickou parciální diferenciální rovnicí druhého řádu, která popisuje celou řadu vlnění, ať už v akustice, optice, elektromagnetismu, nebo v mechanice při popisu strun nebo kapalin. Jako vlnovou rovnici označujeme rovnici, kterou lze vyjádřit ve tvaru

Puls na struně s upevněnými konci modelovaný jednorozměrnou vlnovou rovnicí.

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2}}}+...+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{n}^{2}}},$${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2}}}+...+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{n}^{2}}},$

což bývá zpravidla ekvivalentně zapisováno pomocí laplaceova operátoru jako

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=\Delta z.$${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=\Delta z.$

$z$$z$ přitom představuje skalární funkci polohy a času.

Pod pojmem vlnová rovnice je obvykle myšlena homogenní rovnice. V obecnějším tvaru má vlnová rovnice nehomogenní vyjádření

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=\Delta z+f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=\Delta z+f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$

Při popisu vlnění se pojem vlnová rovnice užívá k označení diferenciální rovnice, která charakterizuje dynamiku daného vlnění. V takovém případě může být označení vlnová rovnice použito pro libovolnou (i nelineární) diferenciální rovnici.

Související články

• Hyperbolická diferenciální rovnice
• Laplaceův operátor
• Vlnění
• Sférická vlna
• Rovinná vlna