Homogenní diferenciální rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Termín „homogenní“ se v matematice používá v několika významech:

  1. Homogenní funkce
  2. Homogenní typ diferenciálních rovnic prvního řádu
  3. Homogenní diferenciální rovnice (v protikladu k „nehomogenním“ diferenciálním rovnicím); jedná se o vlastnost určitých lineárních diferenciálních rovnic, která nesouvisí s výše uvedenými dvěma případy

Homogenní funkce[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Homogenní funkce.

Definice. Funkci    nazýváme homogenní funkcí stupně n, jestliže znásobením proměnné konstantním parametrem   dostaneme:

Tuto definici můžeme zobecnit na funkce více proměnných; například funkce dvou proměnných se nazývá homogenní stupně n, jestliže nahrazením obou proměnných    a    jejich násobkem    a  ,  dostaneme

Příklad. Funkce    je homogenní funkcí stupně 2 protože:

Tato definice homogenní funkce se používá pro klasifikaci určitého typu diferenciálních rovnic prvního řádu.

Homogenní typ diferenciálních rovnic prvního řádu[editovat | editovat zdroj]

Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu ve tvaru:

je homogenního typu, jestliže obě funkce M(x, y) a N(x, y) jsou homogenní funkce stejného stupně n[1]. To znamená, že vynásobením každé proměnná parametrem   dostáváme:

    a    

odtud

Metoda řešení[editovat | editovat zdroj]

V podílu   můžeme položit   .   Tím podíl zjednodušíme na nějakou funkci jedné proměnné :

Provedeme substituci a výsledek zderivujeme pomocí součinového pravidla:

čímž převedeme původní diferenciální rovnici na tvar umožňující separaci proměnných:

tento tvar můžeme přímo integrovat (viz obyčejná diferenciální rovnice).

Speciální případ[editovat | editovat zdroj]

Diferenciální rovnici prvního řádu tvaru:

(kde a, b, c, e, f, g jsou konstanty) můžeme převést na homogenní tvar lineární transformací obou proměnných ( a jsou konstanty):

Homogenní lineární diferenciální rovnice[editovat | editovat zdroj]

Definice. Lineární diferenciální rovnice se nazývá homogenní, pokud splňuje následující podmínku: Je-li    řešením rovnice, pak je řešením i  , kde je libovolná (nenulová) konstanta. Aby tato podmínka byla splněna, každý term v lineární diferenciální rovnici se závislou proměnnou y musí obsahovat y nebo nějakou derivaci y; konstantní term homogenitu narušuje. Lineární diferenciální rovnice, která tuto podmínku nesplňuje, se nazývá nehomogenní.

Lineární diferenciální rovnice můžeme reprezentovat aplikací lineárního operátoru na y(x) kde x je nezávislá proměnná a y je závislá proměnná. Homogenní lineární diferenciální rovnice pak má následující tvar:

kde L je diferenciální operátor tj. součet derivací, z nichž každá je znásobena nějakou funkcí    proměnné x:

přitom    mohou být konstanty, ale všechny    se nesmí definitoricky rovnat nule.

Například následující diferenciální rovnice je homogenní

zatímco následující dvě jsou nehomogenní:

Související články[editovat | editovat zdroj]

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. Ince 1956, p. 18

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Homogeneous differential equation na anglické Wikipedii.

  • BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Elementary differential equations and boundary value problems. 10. vyd. [s.l.]: Wiley, 2012. ISBN 978-0470458310. . (Dobrý úvod do diferenciálních rovnic.)
  • INCE, E. L. New York: Dover Publications, 1956. Dostupné online. ISBN 0486603490. . (Klasické referenční příručka o obyčejných diferenciálních rovnicích, poprvé publikovaná v roce 1926.)

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]