Substituce (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Substituce je nahrazení složitějších výrazů jednoduššími výrazy. Používá se u složitých výrazů a výpočet je pak jednodušší (snadnější). [1]

Ukázky řešení příkladu[editovat | editovat zdroj]

Exponenciální rovnice[editovat | editovat zdroj]

Řešení exponenciální rovnice pomocí substituce:

  1. 2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0
  2. Zavedeme substituci a = 2^{x}:
    a^{2} + a - 6 = 0
  3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
    a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}

    a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2

    a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3
  4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
    1. 2 = 2^x
    2. -3 = 2^x
  5. Vyřešíme obě rovnice:
    1. 2 = 2^x
      1. Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo 2 se dá napsat jako 2^1:
        2^1 = 2^x
      2. 1 = x
      3. Výsledek je:
        x = 1
        Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
    2. -3 = 2^x
      Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.

Goniometrická rovnice[editovat | editovat zdroj]

Řešení goniometrické rovnice pomocí substituce:

  1. (\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0
  2. Zavedeme substituci a = \sin x:
    a^{2} + 2a - 3 = 0
  3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
    a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}

    a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1

    a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3
  4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
    1. \sin x = 1
    2. \sin x = -3
  5. Vyřešíme obě rovnice:
    1. \sin x = 1
      x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi
    2. \sin x = -3
      x = \phi
      Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Substituce - definice