Goniometrická rovnice

Goniometrická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v goniometrické funkci. ^[1] K vyřešení goniometrické rovnice se používá jednotková kružnice.

Příklad, jak může goniometrická rovnice vypadat:

$(\sin x)^{2}+2\sin x-3=0$

Řešení goniometrické rovnice

^[2] ^[3]

Jednoduché rovnice

1. rovnice

$\cos x=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$
$x_{1}={\frac {5\pi }{6}}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z}$
$x_{2}={\frac {7\pi }{6}}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z}$

2. rovnice

${\textrm {tg}}\,x=-{\sqrt {3}}$
$x={\frac {2\pi }{3}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z}$

Substituce

1. rovnice

$(\sin x)^{2}+2\sin x-3=0$
Zavedeme substituci $a=\sin x$ :
$a^{2}+2a-3=0$
Vypočítáme kvadratickou rovnici:
$a_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-2\pm {\sqrt {2^{2}-4\cdot 1\cdot (-3)}}}{2\cdot 1}}={\frac {-2\pm {\sqrt {16}}}{2}}={\frac {-2\pm 4}{2}}$

$a_{1}={\frac {-2+4}{2}}={\frac {2}{2}}=1$

$a_{2}={\frac {-2-4}{2}}={\frac {-6}{2}}=-3$
Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
1. $\sin x=1$
2. $\sin x=-3$
Vyřešíme obě rovnice:
1. $\sin x=1$
  $x={\frac {1}{2}}\pi +2k\pi$
2. $\sin x=-3$
  $x=\phi$

Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

2. rovnice

$\sin \left(x+{\frac {\pi }{6}}\right)=1$
Zavedeme substituci $a=x+{\frac {\pi }{6}}$ :
$\sin a=1$
$a={\frac {\pi }{2}}+2k\pi$
Dosadíme substituci $a=x+{\frac {\pi }{6}}$ :
$x+{\frac {\pi }{6}}={\frac {\pi }{2}}+2k\pi$
$a=x+{\frac {\pi }{6}}$ :
$x={\frac {3\pi }{6}}+2k\pi -{\frac {\pi }{6}}$
$x={\frac {2\pi }{6}}+2k\pi$
$x={\frac {\pi }{3}}+2k\pi$

Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

Rovnice s více funkcemi současně

1. rovnice

1. ${\sqrt {3}}\cos x=2-\sin x$

2. umocníme rovnici na druhou:

$3\cos ^{2}x=(2-\sin x)^{2}$

3. použijeme vzorec $\cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x$

$3-3\sin ^{2}x=4-4\sin x+\sin ^{2}x$

4. $0=4\sin ^{2}x-4\sin x+1$

5. použijeme vzorec $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$

$(2\sin x-1)^{2}=0$

6. celou rovnici odmocníme:

$2\sin x-1=0$

7. $\sin x={\frac {1}{2}}$

$x_{\scriptstyle {\text{1}}}={\frac {\pi }{6}}+2k\pi$

$x_{\scriptstyle {\text{2}}}={\frac {5\pi }{6}}+2k\pi$

8. z důvodu neekvivalentních úprav 2. a 6. je nutná zkouška

kořen $x_{\scriptstyle {\text{2}}}$ rovnici nevyhovuje a jediným řešením je $x_{\scriptstyle {\text{1}}}$

Takto je možné řešit rovnice se dvěma různými goniometrickými funkcemi

2. rovnice

$(\cot x)^{-1}=-(\tan x)^{-1}+2(\sin x)^{-1}$
Použijeme vztahy mezi funkcemi:

$\tan x=2(\sin x)^{-1}-\cot x$

${\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2}{\sin x}}-{\frac {\cos x}{\sin x}}$

zbavíme se zlomků:

$\sin ^{2}x=\cos x*(2-\cos x)$

Použijeme vzorec $\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x$

$1-\cos ^{2}x=2\cos x-\cos ^{2}x$

$1=2\cos x$
$\cos x=1/2$
$x_{\scriptstyle {\text{1}}}={\frac {\pi }{6}}+2k\pi$

$x_{\scriptstyle {\text{2}}}={\frac {11\pi }{6}}+2k\pi$

Rovnice vyřešena

Vybrané (nejpoužívanější) vzorce

^[4] ^[5]

Záporné hodnoty úhlů
- $\sin(-\alpha )=-\sin \alpha \,\!$
- $\cos(-\alpha )=\cos \alpha \,\!$
- $\mathrm {tg} (-\alpha )=-\mathrm {tg} \,\alpha \,\!$
- $\mathrm {cotg} (-\alpha )=-\mathrm {cotg} \,\alpha \,\!$
Vzájemné vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného úhlu
- $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\,\!$
- $\mathrm {tg} \,\alpha \cdot \mathrm {cotg} \,\alpha =1\,\!$
- ${\textrm {tg}}\,\alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\,\!$
- ${\textrm {cotg}}\,\alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\,\!$
- $\sin \alpha ={\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}$
- $\cos \alpha ={\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}$
- ${\textrm {tg}}\,\alpha ={\frac {1}{{\textrm {cotg}}\,\alpha }}\,\!$
Dvojnásobný úhel
- $\sin 2\alpha =2\cdot \sin \alpha \cos \alpha \,\!$
- $\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \,\!$
Poloviční úhel
- $\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}\,\!$
- $\cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}\,\!$
Mocniny goniometrických funkcí
- $\sin ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1-\cos 2\alpha )$
- $\cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1+\cos 2\alpha )$
Goniometrické funkce součtu a rozdílu úhlů
- $\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \,\!$
- $\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,\!$

Kvadranty a hodnoty funkcí ve vybraných úhlech

^[6]

Kvadrant	α	sin α	cos α	tg α	cotg α
1. kvadrant	0° – 90°	+	+	+	+
2. kvadrant	90° – 180°	+	–	–	-
3. kvadrant	180° – 270°	–	–	+	+
4. kvadrant	270° – 360°	–	+	–	-

Stupně	Radiány	Sinus	Kosinus	Tangens	Kotangens
0	$0\,$	$0\,$	$1\,$	$0\,$	$-\,$
30	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	${\sqrt {3}}$
45	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$1\,$	$1\,$
60	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$
90	${\frac {\pi }{2}}$	$1\,$	$0\,$	$-\,$	$0\,$
120	${\frac {2\pi }{3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\sqrt {3}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$
135	${\frac {3\pi }{4}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-1\,$	$-1\,$
150	${\frac {5\pi }{6}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}$	${\frac {-{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\sqrt {3}}$
180	$\pi \,$	$0\,$	$-1\,$	$0\,$	$-\,$
210	${\frac {7\pi }{6}}$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	${\sqrt {3}}$
225	${\frac {5\pi }{4}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$1\,$	$1\,$
240	${\frac {4\pi }{3}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$
270	${\frac {3\pi }{2}}$	$-1\,$	$0\,$	$-\,$	$0\,$
300	${\frac {5\pi }{3}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	$-{\sqrt {3}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$
315	${\frac {7\pi }{4}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-1\,$	$-1\,$
330	${\frac {11\pi }{6}}$	$-{\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {-{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\sqrt {3}}$

Související články

Reference

↑ Goniometrické rovnice - teorie a řešené příklady. www.matweb.cz [online]. [cit. 2012-02-09]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2012-01-27.
↑ Goniometrické rovnice - řešené příklady
↑ Goniometrické rovnice - teorie a řešené příklady. www.matematika-sps.kvalitne.cz [online]. [cit. 2012-02-09]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2010-12-14.
↑ Goniometrické vzorce^{[nedostupný zdroj]}
↑ Goniometrické vzorce
↑ Kvadranty a hodnoty funkcí ve vybraných úhlech. absolventi.gymcheb.cz [online]. [cit. 2012-02-09]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2016-03-05.

[1] Goniometrické rovnice - teorie a řešené příklady. www.matweb.cz [online]. [cit. 2012-02-09]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2012-01-27.

[2] Goniometrické rovnice - řešené příklady

[3] Goniometrické rovnice - teorie a řešené příklady. www.matematika-sps.kvalitne.cz [online]. [cit. 2012-02-09]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2010-12-14.

[4] Goniometrické vzorce^{[nedostupný zdroj]}

[5] Goniometrické vzorce

[6] Kvadranty a hodnoty funkcí ve vybraných úhlech. absolventi.gymcheb.cz [online]. [cit. 2012-02-09]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2016-03-05.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]