Goniometrická rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Goniometrická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v goniometrické funkci. [1] K vyřešení goniometrické rovnice se používá jednotková kružnice.

Příklad, jak může goniometrická rovnice vypadat:

(\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0

Řešení goniometrické rovnice[editovat | editovat zdroj]

[2] [3]

Jednoduché rovnice[editovat | editovat zdroj]

1. rovnice[editovat | editovat zdroj]

  1. \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. x_1 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}
  3. x_2 = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}

2. rovnice[editovat | editovat zdroj]

  1. \textrm{tg}\, x = -\sqrt{3}
  2. x = \frac{2\pi}{3} + k\pi, k\in\mathbb{Z}

Substituce[editovat | editovat zdroj]

1. rovnice[editovat | editovat zdroj]

  1. (\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0
  2. Zavedeme substituci a = \sin x:
    a^{2} + 2a - 3 = 0
  3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
    a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}

    a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1

    a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3
  4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
    1. \sin x = 1
    2. \sin x = -3
  5. Vyřešíme obě rovnice:
    1. \sin x = 1
      x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi
    2. \sin x = -3
      x = \phi

Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

2. rovnice[editovat | editovat zdroj]

  1. \sin (x + \frac{\pi}{6}) = 1
  2. Zavedeme substituci a = x + \frac{\pi}{6}:
    \sin a = 1
  3. a = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
  4. Dosadíme substituci a = x + \frac{\pi}{6}:
    x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
  5. a = x + \frac{\pi}{6}:
    x = \frac{3\pi}{6} + 2k\pi - \frac{\pi}{6}
  6. x = \frac{2\pi}{6} + 2k\pi
  7. x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi

Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

Vybrané (nejpoužívanější) vzorce[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Goniometrická funkce #Vybrané vzorce z oblasti goniometrie.

[4] [5]

  • Záporné hodnoty úhlů
    • \sin(-\alpha) = - \sin \alpha\,\!
    • \cos(-\alpha) = \cos \alpha\,\!
    • \mathrm{tg}(-\alpha) = - \mathrm{tg}\,\alpha\,\!
    • \mathrm{cotg}(-\alpha) = - \mathrm{cotg}\,\alpha\,\!
  • Vzájemné vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného úhlu
    • \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\,\!
    • \mathrm{tg}\,\alpha \cdot \mathrm{cotg}\,\alpha = 1\,\!
    • \textrm{tg}\, \alpha = \frac {\sin \alpha} {\cos \alpha}\,\!
    • \textrm{cotg}\, \alpha = \frac {\cos \alpha} {\sin \alpha}\,\!
    • \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}
    • \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}
    • \textrm{tg}\, \alpha = \frac {1}{\textrm{cotg}\, \alpha} \,\!
  • Dvojnásobný úhel
    • \sin 2\alpha = 2\cdot \sin \alpha \cos \alpha\,\!
    • \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\,\!
  • Poloviční úhel
    • \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}\,\!
    • \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}\,\!
  • Mocniny goniometrických funkcí
    • \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 \alpha)
    • \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 \alpha)
  • Goniometrické funkce součtu a rozdílu úhlů
    • \sin \left(\alpha \pm \beta\right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\,\!
    • \cos \left(\alpha \pm \beta\right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,\!

Kvadranty a hodnoty funkcí ve vybraných úhlech[editovat | editovat zdroj]

[6]

Kvadrant α sin α cos α tg α cotg α
1. kvadrant 0° - 90° + + + +
2. kvadrant 90° - 180° + - - -
3. kvadrant 180° - 270° - - + +
4. kvadrant 270° - 360° - + - -


Stupně Radiány Sinus Kosinus Tangens Kotangens
0 0\, 0\, 1\, 0\, -\,
30 \frac{\pi}{6} \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}
45 \frac{\pi}{4} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} 1\, 1\,
60 \frac{\pi}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}
90 \frac{\pi}{2} 1\, 0\, -\, 0\,
120 \frac{2\pi}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{1}{2} -\sqrt{3} -\frac{\sqrt{3}}{3}
135 \frac{3\pi}{4} \frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -1\, -1\,
150 \frac{5\pi}{6} \frac{1}{2} \frac{-\sqrt{3}}{2} \frac{-\sqrt{3}}{3} -\sqrt{3}
180 \pi\, 0\, -1\, 0\, -\,
210 \frac{7\pi}{6} -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}
225 \frac{5\pi}{4} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} 1\, 1\,
240 \frac{4\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{1}{2} \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}
270 \frac{3\pi}{2} -1\, 0\, -\, 0\,
300 \frac{5\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} -\sqrt{3} -\frac{\sqrt{3}}{3}
315 \frac{7\pi}{4} -\frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} -1\, -1\,
330 \frac{11\pi}{6} -\frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{-\sqrt{3}}{3} -\sqrt{3}

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Goniometrické rovnice - teorie a řešené příklady
  2. Goniometrické rovnice - řešené příklady
  3. Goniometrické rovnice - teorie a řešené příklady
  4. Goniometrické vzorce
  5. Goniometrické vzorce
  6. Kvadranty a hodnoty funkcí ve vybraných úhlech