Kotangens

Kotangens je goniometrická funkce úhlu. Zapisuje se jako ${\mbox{cotg }}\varphi$, kde $\varphi$ je velikost úhlu. Pro ostré úhly je definována v pravoúhlém trojúhelníku jako poměr délek přilehlé a protilehlé odvěsny. Definici lze konzistentně rozšířit z oboru reálných čísel do oboru komplexních čísel.

Kotangens v reálném oboru

Funkce kotangens

Funkce $y={\mbox{cotg }}x={\frac {\cos x}{\sin x}}$ má následující vlastnosti (kde $k$ je libovolné celé číslo):

• Definiční obor: $\mathbb {R} \smallsetminus \left\{k\pi \right\}$
• Obor hodnot: $\mathbb {R}$ (reálná čísla)
• Klesající: v intervalu ${\displaystyle \left(k\pi$ ;\pi +k\pi \right)}
• Derivace: $({\mbox{cotg }}x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$
• Integrál: $\int {\mbox{cotg }}x\,\mathrm {d} x=\ln |\sin x|+c$
• Inverzní funkce: na $\mathbb {R}$ a oborem hodnot $(0;\pi )$: Arkus kotangens (arccotg)
• Grafem funkce je kotangentoida
• funkce kotangens je:
  • lichá
  • neomezená
  • periodická s periodou $\pi$

Kotangens v komplexním oboru

Pro komplexní číslo $z\neq k\pi$, kde $k\in \mathbb {Z}$, platí:

${\mbox{cotg }}z={\frac {\cos z}{\sin z}}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}{\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}}=i{\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}}=i{\frac {e^{2iz}+1}{e^{2iz}-1}}$

Funkce kotangens je holomorfní v celém svém definičním oboru, tedy v množině $\mathbb {C} \setminus \left\{k\pi ;k\in \mathbb {Z} \right\}$.

Související články

• Tangens
• Sinus
• Kosinus
• Trigonometrie
• Goniometrie
• Goniometrické funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kotangens na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo kotangens ve Wikislovníku

Portály: Matematika