Periodická funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Periodická funkce s periodou P
Jedna perioda funkce sinus a kosinus
Jednoduché periodické funkce

Periodická funkce je v matematice funkce, jejíž hodnoty se pravidelně opakují s určitou periodou. Nejdůležitější periodické funkce jsou trigonometrické funkce (sinus, kosinus atd.), jejichž periodou je 2π. Graf periodické funkce se také opakuje a lze jej sestrojit kopírováním jedné periody na ose x.

Periodické funkce se užívají ve fyzice i v technice k popisu vlnových dějů, oscilací, cyklů a mnoha dalších pravidelných dějů. Nezávislou proměnnou bývá čas. Rozdíl mezi minimem a maximem periodické funkce se nazývá amplituda a převrácená hodnota periody je frekvence.

Funkce, které nejsou periodické, se nazývají aperiodické.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Přesněji můžeme říci, že funkce je periodická s periodou , jestliže

pro všechny hodnoty v definiční oblasti . Pro všechna celá čísla n také platí

Jednoduchým příkladem je funkce, jejíž hodnota je desetinná část argumentu, takže například

Perioda funkce je rovna 1 a .

Nejmenší kladné číslo , které je periodou periodické funkce, označujeme jako primitivní perioda. Průběh periodické funkce je v každém intervalu stejný.

Obecná definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť je množina s interní operací . Potom P-periodickou funkcí nebo periodickou funkcí s periodou P na je funkce na taková, že

.

Poznamenejme, že ačkoliv se předpokládá, že je komutativní, v této definici píšeme napravo.

Funkce, jejichž definičním oborem jsou komplexní čísla, mohou mít dvě nesouměřitelné periody, aniž by se jednalo o konstantní funkce. Takovými funkcemi jsou např. eliptické funkce. („Nesouměřitelnost“ zde znamená, že jedna z period není celočíselným násobkem druhé.)

Periodické řady[editovat | editovat zdroj]

Některé přirozeně se vyskytující řady jsou periodické, například desetinný rozklad libovolného racionálního čísla (viz periodický rozvoj). Můžeme proto mluvit o periodě nebo délce periody řady. Jedná se tedy o speciální případ obecné definice.

Základem Fourierových řad je myšlenka, že libovolná periodická funkce je součtem trigonometrických funkcí s periodami P, 2P, 3P atd.

Translační symetrie[editovat | editovat zdroj]

Jestliže se k popisu nějakého objektu použije funkce, např. nekonečný obraz může být popsán barvou jako funkcí pozice, odpovídá periodicita této funkce translační symetrii objektu.

Související články[editovat | editovat zdroj]