Hyperbolický tangens

Graf hyperbolického tangens

Hyperbolický tangens je hyperbolická funkce. Značí se $\tanh x$ nebo $\operatorname {tgh} x$.

Definice

Hyperbolický tangens je definován jako podíl hyperbolického sinu a hyperbolického kosinu:

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.$

Definice platí i pro komplexní argument. Pomocí ryze imaginárního úhlu jej lze vyjádřit jako:

$\tanh x=-\mathrm {i} \tan(\mathrm {i} x),$

kde $\mathrm {i}$ je imaginární jednotka.

Vlastnosti

• Definiční obor funkce: $\mathbb {R}$

• Obor hodnot funkce: $(-1;1)$

• Hyperbolický tangens je lichá funkce, je tedy splněna podmínka:

$\tanh(-x)=-\tanh x.$

• Funkce je v celém definičním oboru rostoucí.

• Pro součet argumentů, dvojnásobný a poloviční argument platí:

$\tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\cdot \tanh y}}$

$\tanh(2x)={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}$

$\tanh {\frac {x}{2}}={\frac {\sinh x}{1+\cosh x}}$

• Inverzní funkcí k hyperbolickému tangens je hyperbolometrická funkce argument hyperbolického tangens ($\operatorname {artanh} x$):

$\operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right),$

pro $|x|<1$.

• Derivace:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}$

• Neurčitý integrál:

$\int \tanh x\,\mathrm {d} x=\ln(\cosh x)+C,$

kde $C$ je integrační konstanta.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu hyperbolický tangens na Wikimedia Commons

Portály: Matematika