Hyperbolický kosinus

Graf hyperbolického kosinu

Hyperbolický kosinus je sudá hyperbolická funkce.

Definice

$$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$$

Vlastnosti

$D{\bigl (}\cosh x{\bigr )}=\mathbb {R}$ – definiční obor funkce $\cosh x$

$H{\Bigl (}\cosh x{\Bigr )}=\langle 1,\infty {\bigr )}$ – obor hodnot funkce $\cosh x$

$\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$

důkaz tohoto tvrzení $\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}={\frac {e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}}-{\frac {e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}}={\frac {4}{4}}=1$, kde $e$ je Eulerovo číslo

$1-\tanh ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}$, kde $\tanh x$ je hyperbolický tangens

$\cosh 0=1$

$\cosh x=\cos(ix)=\cos(-ix)$, kde $i$ je imaginární jednotka

$(\cosh x)'=\sinh x$ derivace hyperbolického kosinu podle $x$, kde $\sinh x$ je hyperbolický sinus

$\int \cosh x\ dx=\sinh x+C$, kde $C$ je integrační konstanta

$\cosh x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}$

Inverzní funkcí k hyperbolickému kosinu je hyperbolometrická funkce $\operatorname {argcosh} \,x$ (argument hyperbolického kosinu).

Graf

Pro $x<0$ je $\cosh x$ klesající a pro $x>0$ rostoucí.
Grafem hyperbolického kosinu je křivka známá jako řetězovka.