Hyperbolický sinus

Hyperbolický sinus (červeně) a kosinus (modře)

Hyperbolický sinus je hyperbolická funkce, značí se $\sinh x$. Je to lichá část přirozené exponenciály.

Definice

Hyperbolický sinus je definován vztahem:

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}.$

Vlastnosti

• Definiční obor: $\mathbb {R}$

• Obor hodnot: $\mathbb {R}$

• Funkce je lichá, je tedy splněna podmínka:

$\sinh(-x)=-\sinh x.$

• Vztah k goniometrickému sinu:

$\sinh x=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} x),$

kde $\mathrm {i}$ je imaginární jednotka.

• Derivace:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x=\cosh x,$

kde $\cosh x$ je hyperbolický kosinus.

• Neurčitý integrál:

$\int \sinh x\,\mathrm {d} x=\cosh x+C,$

kde $C$ je integrační konstanta.

• Taylorova řada:

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

pro všechna $x\in \mathbb {R}$.

• Významné hodnoty:

$\sinh 0=0$

$\sinh(\ln \phi )={\frac {1}{2}},$

kde $\phi$ je zlatý řez.

Externí odkazy

• (anglicky) Hyperbolický sinus na MathWorld

Portály: Matematika