Cyklometrická funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Arkus sínus a arkus kosínus
Arkus tangens a arkus kotangens.
Arkus sekans a arkus kosekans.

Cyklometrické funkce jsou inverzní zobrazení ke goniometrickým funkcím.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Mezi cyklometrické funkce patří:

Aby mohla k libovolné funkci existovat inverzní funkce, daná funkce musí být prostá, to znamená, že různým dvěma prvkům musí přiřazovat dvě různé hodnoty. Protože jsou ale Goniometrické funkce periodické, tzn. nejsou prosté, musíme nejprve ošetřit jejich definiční obor a také definiční obory goniometrických funkcí. To znamená, že vybereme jen tu podmnožinu definičního oboru dané geometrické funkce, na které je prostá.

Definiční obory cyklometrických a goniometrických funkcí[editovat | editovat zdroj]

Goniometrické funkce Cyklometrické funkce
Sinus: \sin x pro x \in \langle \textstyle-\frac{\pi}2; \frac{\pi}2\rangle Arkus sinus: \arcsin x pro x \in\langle -1; 1\rangle
Cosinus: \cos x pro x \in \langle 0,\pi\rangle Arkus cosinus: \arccos x pro x \in \langle -1;1\rangle
Tangens: \mathrm{tg}\,x pro x \in \textstyle (-\frac{\pi}2; \frac{\pi}2) Arkus tangens: \mathrm{arctg}\,x pro x \in\mathbb R
Cotangens: \mathrm{cotg}\,x pro x \in (0, \pi) Arkus cotangens: \mathrm{arccotg}\,x pro x \in\mathbb R

Vztahy mezi cyklometrickými a goniometrickými funkcemi[editovat | editovat zdroj]

sin a arcsin[editovat | editovat zdroj]

\mathrm{arcsin}(\mathrm{sin}x)=x\!, pokud platí \ |x|\leq \frac{\pi}{2}
\sin(\mathrm{arcsin}x)=x\!, pokud platí \ |x|\leq1

cos a arccos[editovat | editovat zdroj]

\mathrm{arccos}(\mathrm{cos}x)=x\!, pokud platí \ 0 \leq x \leq\pi
\cos(\mathrm{arccos}x)=x\!, pokud platí \ |x|\leq1

tg a arctg[editovat | editovat zdroj]

\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}x)=x\!, pokud platí \ |x|<\frac{\pi}{2}
\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}x)=x\!

cotg a arccotg[editovat | editovat zdroj]

\mathrm{arccotg}(\mathrm{cotg}x)=x\!, pokud platí \ 0 < x <\pi
\mathrm{cotg}(\mathrm{arcotg}x)=x\!

Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi[editovat | editovat zdroj]

\mathrm{arcsin} x = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arccos} x = \mathrm{arctg} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arccotg} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
\mathrm{arccos} x = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arcsin} x = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arctg} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \mathrm{arccotg} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
\mathrm{arctg} x = \mathrm{arcsin} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arccos} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arccotg} x
\mathrm{arccotg} x = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arcsin} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \mathrm{arccos} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\pi}{2} - \mathrm{arctg} x

Pro x > 0 platí

\mathrm{arccotg} x = \mathrm{arctg} \frac{1}{x}

Pro x < 0 platí

\mathrm{arccotg} x = \pi + \mathrm{arctg} \frac{1}{x}

Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi se vzájemně opačnými argumenty[editovat | editovat zdroj]

\arcsin(-x) = -\arcsin x \!
\arccos(-x) = \pi - \arccos x \!
\mathrm{arctg}(-x)= - \mathrm{arctg}\,x \!
\mathrm{arccotg}(-x) = \pi - \mathrm{arccotg}\,x \!

Součty a rozdíly cyklometrických funkcí[editovat | editovat zdroj]

arcsin x + arcsin y[editovat | editovat zdroj]


\arcsin x\, +\, \arcsin y =
\begin{cases}
\arcsin[x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}], & \text{pokud platí } xy \leq 0\text{ nebo }x^2 + y^2\leq 1\\ \\
\pi - \arcsin[x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}], & \text{pokud platí } x > 0, y > 0, x^2 + y^2 > 1\\ \\
- \pi - \arcsin[x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}], & \text{pokud platí } x < 0, y < 0, x^2 + y^2 > 1
\end{cases}

arcsin x - arcsin y[editovat | editovat zdroj]

\arcsin x - \arcsin y = \arcsin[x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}], pokud platí \ xy \geq 0 nebo  x^2 + y^2\leq 1
\arcsin x - \arcsin y = \pi - \arcsin[x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}], pokud platí \ x > 0, y < 0, x^2 + y^2 > 1
\arcsin x - \arcsin y = - \pi - \arcsin[x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}], pokud platí \ x < 0, y > 0, x^2 + y^2 > 1

arccos x + arccos y[editovat | editovat zdroj]

\arccos x + \arccos y = \arccos[xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}], pokud platí \ x + y \geq 0
\arccos x + \arccos y = 2\pi - \arccos[xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}], pokud platí \ x + y < 0

arccos x - arccos y[editovat | editovat zdroj]

\arccos x - \arccos y = -\arccos[xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}], pokud platí \ x \geq y
\arccos x - \arccos y = \arccos[xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}], pokud platí \ x < y

arctg x + arctg y[editovat | editovat zdroj]

\mathrm{arctg}\,x + \mathrm{arctg}\,y =\mathrm{arctg}\,{\frac{x+y}{1-xy}}, pokud platí \ xy < 1
\mathrm{arctg}\,x + \mathrm{arctg}\,y =\pi + \mathrm{arctg}\,{\frac{x+y}{1-xy}}, pokud platí \ x > 0, xy > 1
\mathrm{arctg}\,x + \mathrm{arctg}\,y =-\pi + \mathrm{arctg}\,{\frac{x+y}{1-xy}}, pokud platí \ x < 0, xy > 1

arctg x - arctg y[editovat | editovat zdroj]

\mathrm{arctg}\,x - \mathrm{arctg}\,y =\mathrm{arctg}{\frac{x-y}{1+xy}}, pokud platí \ xy > -1
\mathrm{arctg}\,x - \mathrm{arctg}\,y =\pi + \mathrm{arctg}{\frac{x-y}{1+xy}}, pokud platí \ x > 0, xy < -1
\mathrm{arctg}\,x - \mathrm{arctg}\,y =-\pi + \mathrm{arctg}{\frac{x-y}{1+xy}}, pokud platí \ x < 0, xy < -1

arccotg x + arccotg y[editovat | editovat zdroj]

\mathrm{arccotg}\,x + \mathrm{arccotg}\,y =\mathrm{arccotg}{\frac{xy-1}{x+y}}, pokud platí \ x > -y
\mathrm{arccotg}\,x + \mathrm{arccotg}\,y =\mathrm{arccotg}{\frac{xy-1}{x+y}}+\pi, pokud platí \ x < -y

arcsin x + arccos x[editovat | editovat zdroj]

\arcsin x + \arccos x =\frac{\pi}{2}, pokud platí \ |x|\leq1

arctg x + arccotg x[editovat | editovat zdroj]

\mathrm{arctg}\,x + \mathrm{arccotg}\,x =\frac{\pi}{2}

Vyjádření cyklometrických funkcí v logaritmickém tvaru[editovat | editovat zdroj]

Cyklometrické funkce se dají také vyjádřit použitím logaritmů a komplexních čísel:


\begin{align}
\arcsin x &{}= -i\,\log\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) &{}\\
\arccos x &{}= -i\,\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) = \frac{\pi}{2}\,+i\log\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}-\arcsin x &{}\\
\mathrm{arctg}x &{}= \frac{i}{2}\left(\log\left(1-i\,x\right)-\log\left(1+i\,x\right)\right)= \mathrm{arccotg}\frac{1}{x}\\
\mathrm{arccotg}x &{}= \frac{i}{2}\left(\log\left(1-\frac{i}{x}\right)-\log\left(1+\frac{i}{x}\right)\right)= \mathrm{arctg}\frac{1}{x}\\
\end{align}

Vyjádření nekonečným rozvojem[editovat | editovat zdroj]

Rozvoj cyklometrických funkcí lze psát jako:

 \arcsin z = z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} 
+ \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\ 
= \sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{2n+1}} {4^n (2n+1)}; \qquad | z | \le 1
 \arccos z = \frac {\pi} {2} - \arcsin z
= \frac {\pi} {2} - \left( z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \cdots\ \right) 
= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{2n+1}} {4^n (2n+1)}; \qquad | z | \le 1
 \arctan z = z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots\ 
= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
 \arccot z = \frac {\pi} {2} - \arctan z \ = \frac {\pi} {2} - \left( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots\ \right)  
= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
 \arcsec z = \arccos {(1/z)} 
= \frac {\pi} {2} - \left( z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \cdots\ \right)  
= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{-(2n+1)}} {4^n (2n+1)}; \qquad | z | \ge 1
 \arccsc z = \arcsin {(1/z)} 
= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} +\cdots\ 
= \sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{-(2n+1)}} {4^n (2n+1)}; \qquad | z | \ge 1


Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I., Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
  • Bartch, Hans-Jochen: Matematické vzorce, SNTL, Praha 1987, 2. revidované vydání

Reference[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]