Imaginární jednotka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jako imaginární jednotka se v matematice označuje číslo značené i (někdy též j), které rozšiřuje obor reálných čísel na obor čísel komplexních . Po tomto rozšíření existuje řešení libovolné polynomiální rovnice f(x) = 0.

V reálných číslech některé takové rovnice řešení nemají, konkrétně např. rovnice x² + 1 = 0. Pokud je k množině reálných čísel přidán nový prvek i, který tuto rovnici řeší, algebraickým uzávěrem takto vzniklé množiny je právě množina komplexních čísel, ve kterých má řešení už každá polynomiální rovnice.

V oboru elektrotechnika je často fiktivní jednotka označována jako j místo i, protože i se běžně používá pro označení elektrického proudu

Definice[editovat | editovat zdroj]

Podle definice imaginární jednotka i je řešením rovnice

x2 = −1

Operace s reálnými čísly lze rozšířit na imaginární a komplexní čísla tak, že při manipulaci s výrazem zacházíme s i jako s neznámou veličinou a použijeme tuto definici k tomu, abychom nahradili všechny výskyty i2 číslem −1.

i a −i[editovat | editovat zdroj]

Výše uvedená rovnice má ve skutečnosti dvě různá řešení která jsou aditivně inverzní. Přesněji, pokud řekneme, že řešením rovnice je i, je také řešením této rovnice −i (≠ i). Protože výše uvedená rovnice je jedinou definicí i, je zřejmé, že tato definice je nejednoznačná. Tuto nejednoznačnost odstraníme tak, že vybereme a zafixujeme jako řešení výše uvedené rovnice „pozitivní i“.

Upozornění[editovat | editovat zdroj]

Imaginární jednotka se někdy zapisuje jako , ale je třeba dát pozor při manipulaci s těmito odmocninami. Při aplikaci pravidel platících pro odmocniny z kladných reálných čísel na celý obor reálných čísel můžeme dostat špatný výsledek :

Kalkulační pravidlo

je v oboru reálných čísel platné, pokud a ≥ 0 nebo b ≥ 0. Nemůžeme ho tedy použít, pokud jsou obě čísla záporná. Můžeme ho však použít pro výpočet odmocniny ze záporného čísla, např. druhou odmocninu z čísla -4 vypočteme jako:

Abychom se vyhnuli chybám při manipulaci s komplexními čísly, je lépe nepoužívat záporná čísla pod odmocninou.

Mocniny i[editovat | editovat zdroj]

Mocniny i se cyklicky opakují:

To lze vyjádřit matematickým vzorcem, kde n je libovolné celé číslo:

i a Eulerův vzorec[editovat | editovat zdroj]

Vezmeme Eulerův vzorec , a po dosazení za , dostaneme

Jestliže obě strany umocníme na i, a využijeme , získáme následující rovnost:

Ve skutečnosti je snadné určit, že má nekonečný počet řešení ve tvaru

Z výše uvedené identity

lze odvodit Eulerovu identitu

,

V Gaussově rovině imaginární jednotku představuje číslo [0;1].

Každé komplexní číslo lze zapsat (v tzv. algebraickém tvaru) ve tvaru a + ib, kde a a b jsou reálná čísla

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]