Eulerův vzorec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Tento článek je o Eulerově vzorci v Komplexní analýze. O ostatních významech pojednává článek Seznam pojmů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi.
Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:

Význam vzorce[editovat | editovat zdroj]

Je zvykem na Eulerův vzorec nahlížet jako na větu komplexní analýzy. Pro jeho pochopení je potřeba vědět, co znamená mocnění komplexním číslem.

Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné:

Její Taylorův rozvoj je:

Definiční obor exponenciální funkce lze holomorfním prodloužením rozšířit na obor komplexních čísel (x = a + bi):

Pro a = 0 dostáváme:

Nyní mírně přerovnejme sčítance

Ze druhé části vytkneme i:

Teď se i vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme využít, toho že i2 = -1:

Ze znalosti Taylorovy řady víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus:

Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení.

Vzorec platí i v obecnějším případě, kdy je číslo komplexní, protože sinus i kosinus lze pro komplexní argument napsat jako Taylorovy řady stejné jako v případě argumentu reálného až na to, že mají argument komplexní.