Eulerův vzorec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Tento článek je o Eulerově vzorci v Komplexní analýze. O ostatních významech pojednává článek Seznam pojmů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi.
Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:

Na Eulerův vzorec je zvykem nahlížet jako na větu komplexní analýzy.

Význam vzorce[editovat | editovat zdroj]

Eulerův vzorec umožňuje definovat mocnění komplexním číslem a protože exponenciální funkce je inverzní funkcí k logaritmu, umožňuje definovat i logaritmy komplexních čísel.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Taylorův rozvoj exponenciální funkce reálné proměnné je:

Její definiční obor lze holomorfním prodloužením rozšířit na obor komplexních čísel (x = a + ib, kde i je imaginární jednotka). Pro další odvození stačí uvažovat, že x je ryze imaginární číslo (x = ib); dosazením do Taylova rozvoje dostaneme:

Využijeme toho, že i2 = -1:

Přerovnáme členy a vytkneme imaginární jednotku i z členů, které ji obsahují:

Uzávorkované části jsou Taylorovy rozvoje funkcí kosinus a sinus reálné proměnné b:

čímž dostáváme Eulerův vzorec:

Vzorec platí i v obecnějším případě, kdy je číslo komplexní, protože sinus i kosinus lze pro komplexní argument napsat jako Taylorovy řady stejné jako v případě argumentu reálného.

Pro obecnou definici umocňování komplexním číslem použijeme vzorec :

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]