Eulerův vzorec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o Eulerově vzorci v Komplexní analýze. O ostatních významech pojednává článek Seznam pojmů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi.
Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:

Význam vzorce[editovat | editovat zdroj]

Je zvykem na Eulerův vzorec nahlížet jako na větu Komplexní analýzy. Pro jeho pochopení je potřeba vědět, co znamená mocnění komplexním číslem.

Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné:

Ze znalosti Taylorovy řady víme, že:

Nyní si definujme exponenciální funkci komplexní proměnné tímto způsobem:

Dosaďme za exponent ix:

Nyní mírně přerovnejme sčítance

Ze druhé části vytkněme i:

Teď se i vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme ho umocnit:

Ze znalosti Taylorovy řady víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus:

Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení.