Integrace použitím Eulerova vzorce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Eulerův vzorec pro komplexní čísla lze v integrálním počtu použít pro vyhodnocení integrálů, které obsahují goniometrické funkce. Použitím Eulerova vzorce můžeme zapsat libovolnou trigonometrickou funkci jako komplexní exponenciální funkci obsahující a a tu pak integrovat. Tato technika je často jednodušší a rychlejší než použití trigonometrických identit nebo integrace per partes, a je dostatečně silná pro integraci libovolné racionální funkce obsahující trigonometrické funkce.

Eulerův vzorec[editovat | editovat zdroj]

Eulerův vzorec:[1]

Substitucí za dostaneme rovnici

protože funkce kosinus je sudá funkce a sinus lichá. Z těchto dvou rovnic lze vyjádřit sinus a kosinus:

Příklady[editovat | editovat zdroj]

První příklad[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme integrál

Standardní postup řešení tohoto integrálu je použít vzorec pro poloviční úhel pro zjednodušení integrandu. Místo toho můžeme použít Eulerovu identitu:

Nyní je možné se vrátit zpět k reálným číslům použitím vzorce e2ix + e−2ix = 2 cos 2x. Případně můžeme integrovat komplexní exponenciály a k trigonometrickým funkcím se již nevracet:

Druhý příklad[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme integrál

Řešení tohoto integrálu použitím trigonometrických identit je poměrně komplikované, ale při použití Eulerovy identity je docela jednoduché:

Nyní můžeme buď integrovat přímo nebo můžeme nejdřív provést substituci výrazu 2 cos 6x − 4 cos 4x + 2 cos 2x. Obě metody dávají

Použití reálných částí[editovat | editovat zdroj]

Kromě přímého využití Eulerovy identity lze často vhodně využít reálné části komplexních výrazů. Pokud máme například integrál

Protože cos x je reálná část eix, víme, že

Integrál na pravé straně lze snadno vypočítat:

Odtud postupně dostaneme

Zlomky[editovat | editovat zdroj]

Obecně lze tuto techniku použít pro vyhodnocení libovolného zlomku, který obsahuje trigonometrické funkce. Například při řešení integrálu

dostaneme použitím Eulerovy identity

Pokud nyní provedeme substituci u = eix, výsledek je integrál racionální funkce:

který můžeme řešit pomocí rozkladu na parciální zlomky.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Integration using Euler's formula na anglické Wikipedii.

Související články[editovat | editovat zdroj]