Eulerův vzorec pro komplexní čísla lze v integrálním počtu použít pro vyhodnocení integrálů, které obsahují goniometrické funkce. Použitím Eulerova vzorce můžeme zapsat libovolnou trigonometrickou funkci jako komplexní exponenciální funkci obsahující
a
a tu pak integrovat. Tato technika je často jednodušší a rychlejší než použití trigonometrických identit nebo integrace per partes, a je dostatečně silná pro integraci libovolné racionální funkce obsahující trigonometrické funkce.
Eulerův vzorec:[1]
![{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\,\sin x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b19aeef5e8080c6e330ef65f113eceb96f3442)
Substitucí
za
dostaneme rovnici
![{\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\,\sin x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30987ecf24107301efb1902acf77aa1ad26c5de6)
protože funkce kosinus je sudá funkce a sinus lichá. Z těchto dvou rovnic lze vyjádřit sinus a kosinus:
![{\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\quad {\text{a}}\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667072297edd8e4d35e96cdcaddaf262fce0207c)
Uvažujme integrál
![{\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dc75c6551541323d2e9de358213c19c333a1fb)
Standardní postup řešení tohoto integrálu je použít vzorec pro poloviční úhel pro zjednodušení integrandu. Místo toho můžeme použít Eulerovu identitu:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{2}x\,dx\,&=\,\int \left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{2}dx\\[6pt]&=\,{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right)dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477bcd8b7e0424bbab7594999c9a5157a119d1f4)
Nyní je možné se vrátit zpět k reálným číslům použitím vzorce e2ix + e−2ix = 2 cos 2x. Případně můžeme integrovat komplexní exponenciály a k trigonometrickým funkcím se již nevracet:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right)dx&={\frac {1}{4}}\left({\frac {e^{2ix}}{2i}}+2x-{\frac {e^{-2ix}}{2i}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\left(2x+\sin 2x\right)+C.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094b4102f3fcb40250e8417ebff895de2aed2b46)
Uvažujme integrál
![{\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5eaf8204f82e3427464a2d38ed7ccfb9ccffcb)
Řešení tohoto integrálu použitím trigonometrických identit je poměrně komplikované, ale při použití Eulerovy identity je docela jednoduché:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx&=\int \left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{2ix}-2+e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+e^{-6ix}\right)dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803fea23145359a202cb5de0ea639ddbfbc77b0f)
Nyní můžeme buď integrovat přímo nebo můžeme nejdřív provést substituci výrazu 2 cos 6x − 4 cos 4x + 2 cos 2x.
Obě metody dávají
![{\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx=-{\frac {1}{24}}\sin 6x+{\frac {1}{8}}\sin 4x-{\frac {1}{8}}\sin 2x+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163c64e08e5129a355853826913f4f37f3d4cdcf)
Kromě přímého využití Eulerovy identity lze často vhodně využít reálné části komplexních výrazů. Pokud máme například integrál
![{\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e037c2a94a078c14a84889f67a9eaba6590314)
Protože cos x je reálná část eix, víme, že
![{\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx=\operatorname {Re} \int e^{x}e^{ix}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9186683038eb3d79371552a0a6817d6e61b7ce8)
Integrál na pravé straně lze snadno vypočítat:
![{\displaystyle \int e^{x}e^{ix}\,dx=\int e^{(1+i)x}\,dx={\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe8cd8b3c60700ea7431dc621d9af965bf96769)
Odtud postupně dostaneme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{x}\cos x\,dx&=\operatorname {Re} \left({\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}(1-i)}{2}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e9c7fbcba2dfcd2ca6dab6894ec6bb9e21f128)
Obecně lze tuto techniku použít pro vyhodnocení libovolného zlomku, který obsahuje trigonometrické funkce. Například při řešení integrálu
![{\displaystyle \int {\frac {1+\cos ^{2}x}{\cos x+\cos 3x}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4bd319067463f46946864c46fc1694b0c14ee9)
dostaneme použitím Eulerovy identity
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {12+e^{2ix}+e^{-2ix}}{e^{ix}+e^{-ix}+e^{3ix}+e^{-3ix}}}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7af4d4840dc6515d34370b3c81d6fad6bd5c2ed)
Pokud nyní provedeme substituci u = eix, výsledek je integrál racionální funkce:
![{\displaystyle -{\frac {i}{2}}\int {\frac {1+12u^{2}+u^{4}}{1+u^{2}+u^{4}+u^{6}}}\,du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f408ba39079904ef00bbcd16cd07daa73ef5126)
který můžeme řešit pomocí rozkladu na parciální zlomky.
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Integration using Euler's formula na anglické Wikipedii.