Integrace per partes

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:

Uplatněním této věty na podmínky pro integrál vzniknou následující vzorce:

Úpravou druhé rovnice vznikne metoda integrace označovaná per partes:

Druhý vztah získáme pouhou záměnou .

Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako

Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.

Per partes pro neurčitý integrál[editovat | editovat zdroj]

Věta[editovat | editovat zdroj]

Nechť a mají v intervalu spojitou první derivaci. Potom v intervalu platí: [1]

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • , kde bylo použito
  • Pro nalezení položíme , takže dostaneme . Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme , tzn. . Dosazením pak získáme konečný výsledek


Rychlá výpočetní metoda per partes[editovat | editovat zdroj]

Rychlá výpočetní metoda není rozšířením metody per partes. Jedná se o mnemotechnickou pomůcku usnadňující zapamatování postupu výpočtu, jeho zpřehlednění a následně usnadní i kontrolu.

Formálně je možné metodu naznačit následovně:

Při integraci součinu dvou funkcí se vytvoří dvousloupcová tabulka, kde se v prvním sloupci derivuje jeden z činitelů a ve druhém sloupci se integruje druhý. V každém kroku (řádku) tabulky si klademe otázku zda jsme schopni integrovat součin na daném řádku. Pokud ne, vytvoří se další řádek. Pokud ano, doplní se šipky ( ) a zapíše výsledek.

Příklady použití[editovat | editovat zdroj]

A) Klasické použití rychlé metody per partes (čtyřnásobné):

B) Zacyklení v případech integrace součinu exponenciálních a goniometrických funkcí:


tj.

C) Rozšíření na součin v případech kdy má smysl pracovat s derivací integrandu:


Užití per partes k odvození vzorců[editovat | editovat zdroj]

Primitivní funkce[editovat | editovat zdroj]


atd. [1] [2]


Rekurentní vzorce[editovat | editovat zdroj]


atd. [1] [2]

Per partes pro určitý integrál[editovat | editovat zdroj]

Věta[editovat | editovat zdroj]

Nechť a mají v intervalu spojitou první derivaci. Potom v intervalu platí: [1]

Zápis je zápis použitý v Newton-Leibnizově vzorci pro výpočet Newtonova určitého integrálu.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

, kde bylo použito ,

Rychlá výpočetní metoda per partes[editovat | editovat zdroj]

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. a b c d KAREL REKTORYS A SPOLUPRACOVNÍCI. Přehled užité matematiky. 7. vyd. Praha: Prometheus, 2000. ISBN 8071961795.
  2. a b BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Přeložil Zdeněk TICHÝ. Praha: Mladá fronta, 1996. ISBN 80-2040607-7.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]