Newtonův integrál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Newtonův integrál představuje definici určitého integrálu, která je založena na existenci primitivní funkce. Pod pojmem Newtonův integrál se často rozumí i související pojem neurčitý integrál (primitivní funkce), zatímco pro odvozený výpočet určitého integrálu se používá pojem výpočet podle Newtonova-Leibnizova vzorce. Primitivní funkce může z definice existovat pouze pro funkci jedné proměnné, ale Newtonův vzorec lze aplikovat i ve vícerozměrných integrálech.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Pokud je funkce spojitá na intervalu , a funkce je k ní na primitivní, pak platí.

Tento vztah bývá též označován jako Newton-Leibnizova formule, popř. se o něm také hovoří jako o základní větě integrálního počtu.

Newtonova definice určitého integrálu požaduje spojitost funkce na daném intervalu. Pokud není funkce na intervalu spojitá v konečně mnoha bodech, lze interval v bodech nespojitosti rozdělit a hledat primitivní funkce po částech. Pro tento případ je ještě potřeba definovat takzvaný „zobecněný Newtonův integrál“, který je v případě nespojitosti primitivní funkce v krajních bodech definován jako rozdíl jednostranných krajních limit. Tedy:

Zápis[editovat | editovat zdroj]

Vzhledem k tomu, že je primitivní funkcí k , používáme obvykle při výpočtu zápis

Historie[editovat | editovat zdroj]

Pojem primitivní funkce, jakož i objevení Newtonova-Leibnizova vzorce je připisován Gottfriedu Wilhelmovi Leibnizovi na podzim roku 1675 a Isaacu Newtonovi roku 1666. I když se vedly o autorství objevu celého diferenciálního počtu rozepře, oba matematici objev učinili zřejmě nezávisle na sobě [zdroj?].

Jejich snaha byla zjistit obecný vzorec pro výpočet plochy pod křivkou. V případě Isaaca Newtona byla tato snaha motivována i využitím v mechanice. V 19. století se při snaze eliminovat nejasně definované pojmy infinitesimálních veličin Leibnize a Newtona rozvinula metoda založená na limitě přibližných součtů, dnes nazývaná Riemannův integrál[zdroj?]. Na počátku dvacátého století pak vznikla teorie obecného integrálu, nazývaná integrálem Lebesgueovým[zdroj?].

Související články[editovat | editovat zdroj]