Lineární diferenciální rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Lineární diferenciální rovnice je diferenciální rovnice tvaru

kde

V lineární diferenciální rovnici se hledaná funkce vyskytuje pouze lineárně a nikde se nevyskytují součiny hledané funkce s jejími derivacemi, ani součiny derivací této funkce.

Lineární diferenciální rovnice mohou být obyčejné (s jednou nezávislou proměnnou) i parciální (s více nezávislými proměnnými). Řešení lineární rovnice tvoří (na rozdíl od řešení nelineárních diferenciálních rovnic) vektorový prostor.

Úvod[editovat | editovat zdroj]

Nejstručněji lze lineární diferenciální rovnici zapsat pomocí diferenciálního operátoru L:

operátor musí být lineární, y je neznámá funkce (například funkce času y(t)) a pravá strana f je funkce stejné povahy jako y. Rovnici můžeme zapsat i s uvedením nezávislé proměnné t:

nebo ještě přesněji s uzávorkováním

Můžeme předpokládat, že lineární operátor L má tvar[1]

Podmínka linearity L vylučuje takové operace jako provedení druhé mocniny na derivaci funkce y, ale dovoluje například provedení druhé derivace funkce y. Rovnici lze pohodlně přepsat v operátorovém tvaru

kde D je diferenciální operátor d/dt (tj. Dy = y' , D2y = y",... ) a An jsou dané funkce.

Řád rovnice n je index nejvyšší derivace funkce y, která se v rovnici skutečně vyskytuje.

Typickým jednoduchým příkladem je lineární diferenciální rovnice používaná k modelování radioaktivního rozpadu[2]. Označíme N(t) počet radioaktivních atomů v nějakém vzorku materiálu[3] v čase t. Pak lze pro určitou konstantu k > 0 modelovat rychlost rozpadu radioaktivních atomů vztahem

Jestliže y je funkce pouze jedné proměnné, mluvíme o obyčejných diferenciálních rovnicích, jinak musíme derivace a jejich koeficienty chápat jako (kontrahované) vektory, matice nebo tenzory vyššího řádu, a jedná se o (lineární) parciální diferenciální rovnice.

Rovnice, u kterých je f = 0, se nazývají homogenní rovnice a jejich řešení se nazývají komplementární funkce. Jsou velmi důležité pro řešení obecné lineární diferenciální rovnice, protože když libovolnou komplementární funkci přičteme k řešení nehomogenní rovnice, dostaneme jiné řešení (metodou tradičně nazývanou partikulární integrál a komplementární funkce).

Když Ai jsou čísla nezávisející na x, pak o rovnici říkáme, že má konstantní koeficienty.

Homogenní rovnice s konstantními koeficienty[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Charakteristická rovnice.

První metodu řešení lineárních homogenních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty vyvinul Leonhard Euler, který zjistil, že řešení má tvar ezx pro jisté hodnoty z (které mohou být i komplexní). Exponenciální funkce je jednou z funkcí, které si zachovávají tvar při derivaci, což dovoluje, aby se součet několika jejích derivací vyrušil a dával nulu, jak vyžaduje rovnice. Pro konstantní hodnoty A1,..., An se tedy má řešit

pokud položíme y = ezx, dostaneme

Po vydělení výrazem ezx dostaneme polynom n-tého stupně:

Tato algebraická rovnice F(z) = 0 je charakteristickou rovnicí, kterou později studoval Gaspard Monge a Augustin Louis Cauchy.

Formálně jsou termy

původní diferenciální rovnice nahrazeny zk. Řešením rovnice dostaneme n kořenů z, z1, ..., zn. Substituce libovolného z těchto kořenů za z do ezx dává řešení ezix. Protože pro homogenní lineární diferenciální rovnice platí princip superpozice, libovolná lineární kombinace těchto funkcí také vyhovuje diferenciální rovnici.

Jsou-li tyto kořeny navzájem různé, máme n různých řešení diferenciální rovnice. Aplikací Vandermondova determinantu lze ukázat, že jsou lineárně nezávislá, a že spolu vytváří bázi prostoru všech řešení diferenciální rovnice.

Příklad

Diferenciální rovnice

má charakteristickou rovnici

která má kořeny i, −i a 1 (s násobností 2). Báze řešení je tedy

To odpovídá bázi reálných řešení

Výše uvedená úvaha dává řešení v případě, kdy všechny kořeny jsou navzájem různé, tj. každý má násobnost 1. V obecném případě pokud z je (možná komplexní) kořen funkce F(z) s násobností m, pak pro , je řešením obyčejné diferenciální rovnice . Použitím tohoto postupu na všechny kořeny dává sadu n různých lineárně nezávislých funkcí, kde n je stupeň polynomu F(z). Jako v předchozím příkladě, tyto funkce vytvářejí bázi prostoru řešení.

Jestliže koeficienty Ai diferenciální rovnice jsou reálné, pak reálná řešení jsou obecně vhodnější. Kořeny z, které nejsou reálné, se pak vyskytují v komplexně sdružených párech, tak do jejich odpovídajícím bázové funkce xkezx a požadovaný výsledek získáme nahrazením každé dvojice jejich reálnou lineární kombinací Re(y) a Im(y), kde y je jedním z dvojice.

Případ, ve kterém se vyskytují komplexní kořeny, lze řešit pomocí Eulerova vzorce.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Je dána diferenciální rovnice . Charakteristická rovnice je , a její kořeny jsou 2±i. Báze řešení je tedy . Funkce y je řešením právě tehdy, když pro libovolné konstatnty .

Protože koeficienty původní rovnice jsou reálné,

  • pravděpodobně nás nezajímají komplexní řešení
  • prvky báze vycházejí z komplexně sdružených hodnot

Lineární kombinace

jsou reálnou bází .

Jednoduchý harmonický oscilátor[editovat | editovat zdroj]

Diferenciální rovnici druhého řádu

která reprezentuje jednoduchý harmonický oscilátor, lze zapsat jako

Výraz v závorkách lze rozložit:

z čehož je vidět dvojice lineárně nezávislých řešení:

Řešení jsou po řadě

a

Tato řešení tvoří bázi dvourozměrného prostoru řešení diferenciální rovnice druhého řádu: to znamená, že lineární kombinace těchto řešení bude také řešením. Konkrétně lze zkonstruovat následující řešení

a

Tato poslední dvě trigonometrická řešení jsou lineárně nezávislá, takže mohou sloužit jako jiná báze prostoru řešení, což dává následující reálné obecné řešení:

Tlumený harmonický oscilátor[editovat | editovat zdroj]

Rovnice pro tlumený harmonický oscilátor má tvar:

Výraz v závorkách můžeme rozložit: nejdříve získáme charakteristickou rovnici nahrazením D za λ. Tato rovnice musí být splněna pro všechna y, tedy:

Řešíme pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:

A výsledek použijeme pro faktorizaci původní diferenciální rovnice:

Což dává dvojici rovnic:

s řešeními po řadě

kde ω = b/2m. Z této lineárně nezávislé dvojice řešení můžeme zkonstruovat jinou lineárně nezávislou dvojici, která tedy slouží jako báze pro dvourozměrný prostor řešení:

Ale pro |ω| < |ω0| je vhodnější se zbavit imaginárních složek a obecné řešení vyjádřit jako

Toto druhé řešení odpovídá podkritickému tlumení, při kterém dochází k tlumenému kmitání, zatímco první řešení odpovídá tlumení nadkritickému, kterému již odpovídá pouze aperiodický pohyb.

Nehomogenní rovnice s konstantními koeficienty[editovat | editovat zdroj]

Pro získání řešení nehomogenní rovnice hledáme partikulární integrál yP(x) buď metodou neurčitých koeficientů nebo metodou variace konstant; obecné řešení lineární diferenciální rovnice je součtem obecného řešení přidružené homogenní rovnice a partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Pokud jsou zadány počáteční podmínky, lze použít Laplaceovu transformaci pro získání partikulárního řešení přímo.

Předpokládejme, že máme řešit rovnici

Definujeme charakteristický polynom

A najdeme bázi řešení přidružené homogenní (f(x) = 0) rovnice. Pak hledáme partikulární řešení yp(x) nehomogenní rovnice metodou variace konstant: Nechť koeficienty lineární kombinace jsou funkcemi proměnné x:

Pro zjednodušení zápisu nebudeme zapisovat závislost na x (ze zápisu vypustíme všechna (x)). Při použití operátorového zápisu D = d/dx lze diferenciální rovnici jednoduše zapsat P(D)y = f. Pak

S omezeními

se rovnice zjednoduší:

Ale protože P(D)yj = 0, dostáváme

Což s omezeními dává lineární soustavu pro u′j. Tu můžeme vždy řešit; kombinací Cramerova pravidla s Wronskiánem dostáváme

Zápis použitý výše znamená, že máme vzít minor (i,n) matice W a znásobit jej f. Kvůli tomu dostaneme záporné znaménko. Případně se nemusíme zabývat znaménkem minus a pouze spočítáme determinant matice získané nahrazením j-tého sloupce matice W vektorem (0, 0, ..., f).

Zbytek získáme integrací u′j.

Partikulární integrál není jednoznačný; také vyhovuje obyčejné diferenciální rovnici pro libovolnou množinu konstant cj.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Řešíme rovnici . Vezměme bázi řešení nalezenou výše .

Použitím seznamu integrálů exponenciálních funkcí

odtud

(Všimněte si, že u1 a u2 mají faktory, které vyruší y1 a y2, což je typické.)

Pro zajímavost, fyzickou interpretací této obyčejné diferenciální rovnice je buzený tlumený harmonický oscilátor; yp reprezentuje stacionární řešení a obecné.

Rovnice s proměnnými koeficienty[editovat | editovat zdroj]

Obyčejná lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s proměnnými koeficienty má obecný tvar

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Jednoduchým příkladem je Eulerova rovnice často používaná v technice

Rovnice prvního řádu[editovat | editovat zdroj]

Příklad
Řešte rovnici

s počáteční podmínkou

Při použití obecné metody řešení:

Vyřešením neurčitého integrálu dostaneme:

Pak se můžeme omezit na:

Z počátační podmínky plyne, že

Lineární obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu s proměnnými koeficienty má obecný tvar

kde D je diferenciální operátor. Rovnice tohoto tvaru můžeme řešit vynásobením integračním faktorem

čímž získáme

což zjednodušíme použitím součinového pravidla na

po zintegrování obou stran a vyřešení pro y(x) dostaneme:

Jinými slovy: Řešení obyčejné lineární diferenciální rovnice prvního řádu

s koeficienty, které mohou, ale nemusí být funkcí proměnné x, je

kde κ je integrační konstanta a

Kompaktní tvar obecného řešení je (viz J. Math. Chem. 48 (2010) 175):

kde δ(x) je zobecněná Diracova delta funkce.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme diferenciální rovnici prvního řádu s konstantními koeficienty:

Tato rovnice je zvlášť důležitá pro soustavy prvního řádu jako například RC obvody a tlumené kmitání.

V tomto případě, f(x) = b, g(x) = 1.

Proto její řešení je

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic[editovat | editovat zdroj]

Libovolnou lineární obyčejnou diferenciální rovnici nebo dokonce soustavu takových rovnic lze převést na soustavu lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu sečtením proměnných pro všechny derivace kromě derivace nejvyššího řádu. Soustavy lineárních rovnic můžeme považovat za jedinou rovnici s vektorovou proměnnou. Obecné řešení je podobné jako řešení obyčejné lineární diferenciální rovnice prvního řádu uvedené výše, ale s komplikacemi pramenícími z nekomutativity násobení matic.

Pro řešení

(kde je vektor nebo matice a je matice), nechť je řešení of s (jednotková matice). je fundamentální matice rovnice – sloupce matice vytváří úplnou lineárně nezávislou množinu řešení homogenní rovnice. Po substitucí se rovnice zjednoduší na Tedy

Pokud komutuje s pro všechna a , pak

a tedy

ale v obecném případě řešení v uzavřeném tvaru neexistuje. Proto se používají přibližné metody jako například Magnusova expanze. Všimněte si, že exponenciální funkce jsou maticové exponenciální funkce.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Notes[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Linear differential equation na anglické Wikipedii.

  1. Gershenfeld 1999, p.9
  2. Robinson 2004, p.5
  3. Robinson 2004, p.7

Reference[editovat | editovat zdroj]

  • Birkhoff, Garrett a Rota, Gian-Carlo. Ordinary Differential Equations. New York : John Wiley a Sons, Inc., 1978. ISBN 0-471-07411-X.  
  • Gershenfeld, Neil. The Nature of Mathematical Modeling. Cambridge, UK. : Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-57095-4.  
  • Robinson, James C.. An Introduction to Ordinary Differential Equations. Cambridge, UK. : Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-82650-0.