Integrační faktor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

V matematice je integrační faktor funkce, kterou je potřeba znásobit danou rovnici obsahující diferenciály, abychom dostali její řešení. Používá se nejen pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic, ale i v diferenciálním a integrálním počtu funkcí více proměnných, kde můžeme neexaktní diferenciál vynásobením integračním faktorem převést na exaktní (který je pak možné integrovat pro získání skalárního pole). To je zvlášť užitečné v termodynamice. Například funkce (je termodynamická teplota) je integračním faktorem veličiny (teplo). Diferenciál není ve stavových proměnných totální diferenciál, kdežto již ano. Veličina je již stavovou funkcí a až na konstantu určuje veličinu entropie.

Použití při řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu[editovat | editovat zdroj]

Integrační faktory jsou užitečné pro řešení obyčejných diferenciálních rovnice, které lze vyjádřit ve tvaru

Základní myšlenkou je najít nějakou funkci nazývanou „integrační faktor“, kterou můžeme znásobit naši diferenciální rovnici, abychom levou stranu dostali pod společnou derivaci. Pro kanonické lineární diferenciální rovnice prvního řádu uvedeného tvaru použijeme integrační faktor

znásobení původní rovnice výrazem dává

a použitím součinového pravidla v opačném směru lze levou stranu vyjádřit jako jedinou derivaci podle

Tuto skutečnost použijeme pro zjednodušení našeho výrazu na

Pak obě strany integrujeme vzhledem k , přičemž nejdříve přejmenujeme na , takže dostaneme

Přesunutím exponenciálních funkcí na pravou stranu dostaneme obecné řešení naší obyčejné diferenciální rovnice:

V případě homogenní diferenciální rovnice, u níž je , dostáváme

kde je konstanta.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Řešte diferenciální rovnici

Vidíme, že v tomto případě

(všimněte si, že nemusíme používat integrační konstantu – stačí nám libovolné řešení, nepotřebujeme obecné řešení)

Znásobením obou stran výrazem dostaneme

Obrácením podílového pravidla dostaneme

nebo

což dává

Obecné použití[editovat | editovat zdroj]

Integrační faktor je libovolný výraz, kterým násobíme diferenciální rovnici, abychom umožnili její integraci. Není omezen na lineární rovnice prvního řádu. Například u nelineární rovnice druhého řádu

lze jako integrační faktor použít :

Pro integraci si všimněte, že obráceným použitím řetězového pravidla lze obě strany rovnice vyjádřit jako derivace:

odtud

Tento tvar může být v některých případech užitečnější. Provedením separace proměnných dostaneme:

toto je implicitní řešení, které zahrnuje neelementární integrál. Pro svou složitost pravděpodobně není příliš užitečné, ale jedná se o obecné řešení. Stejnou metodu lze použít pro výpočet periody jednoduchého kyvadla.

Reference[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]