Separace proměnných

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Separace proměnných (Fourierova metoda) je postup při řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic v matematice založený na převedení nezávislé proměnné na jednu stranu a závislé proměnné na druhou stranu rovnice a následné integraci obou stran rovnice.

Separaci proměnných nelze provést u všech diferenciálních rovnic. Rovnice, u kterých separaci proměnných provést lze, bývají označovány jako separabilní (separovatelné).

Obyčejná diferenciální rovnice[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že diferenciální rovnici lze zapsat ve tvaru

pro můžeme psát:

Pokud h(y) ≠ 0, můžeme rovnici upravit:

takže na každé straně rovnice je jenom jedna z proměnných x a y. S dx (a dy) můžeme pracovat jako s jinými prvky ve výrazu, aniž by nás zajímala formální definice dx jako diferenciálu.

Alternativní zápis[editovat | editovat zdroj]

Místo Leibnizovy notace můžeme použít zápis

ze kterého ale není zcela zjevné, proč se tato metoda nazývá „separace proměnných“. Integrováním obou stran rovnice podle dostáváme

nebo ekvivalentně,

díky substitučnímu pravidlu pro integrály.

Pro vyřešení rovnice stačí spočítat oba integrály. Tento postup nám umožňuje efektivně považovat derivace za zlomky, které mohou být rozděleny. To umožňuje postupovat při řešení separabilních diferenciálních rovnic podobně jako při úpravě aritmetických výrazů:

Poznámka: Při integraci rovnice (1) není třeba používat dvě integrační konstanty jako v

stačí zavést jedinou konstantu, která je jejich rozdílem: .

Příklad (I)[editovat | editovat zdroj]

Obyčejnou diferenciální rovnici

můžeme zapsat jako

Pokud položíme a , můžeme tuto rovnici zapsat ve tvaru rovnice (1) výše. Tato diferenciální rovnice je tedy separabilní.

Jak je ukázáno výše, můžeme považovat a za zvláštní hodnoty, takže obě strany rovnice můžeme znásobit . Vydělením obou stran výrazem dostáváme

Tím jsou proměnné x a y separované, protože x je na pravé straně rovnice a y pouze na levé.

Integrováním obou stran dostaneme

což pomocí částečných zlomků převedeme na

a pak

kde C je integrační konstanta. Trocha algebra dává řešení pro y:

Naše řešení můžeme zkontrolovat zderivováním nalezené funkce podle proměnné x, kde B je libovolná konstanta. Výsledek se musí shodovat s původním problémem. (Při řešení rovnice uvedené výše musíme být opatrní při práci s absolutními hodnotami. Ukazuje se, že různá znaménka absolutní hodnoty přispívají postupně ke kladným a záporným hodnotám B. Případ B = 0 pochází z y = 1, jak je diskutováno níže.)

Nezapomeňte, že protože jsme dělili a , musíme zkontrolovat, zda řešení a není také řešením (singulárním) diferenciální rovnice (v tomto případě obě tyto funkce řešením jsou).

Příklad (II)[editovat | editovat zdroj]

Populační růst je často znázorněn diferenciální rovnicí

kde je populace s ohledem na čas , je rychlost růstu a je nosná kapacita prostředí.

Pro řešení této diferenciální rovnice lze použít separaci proměnných.

Pro vyhodnocení integrálu na levé straně zlomek zjednodušíme

a pak jej rozložíme na částečné zlomky

Čímž dostaneme

Nechť .

Proto řešení logistické rovnice je

Pro nalezení , položíme a . Pak máme

Vzhledem k tomu, že , dostaneme řešení pro A

Parciální diferenciální rovnice[editovat | editovat zdroj]

Metoda separace proměnných se používá také pro řešení množství lineárních parciálních diferenciálních rovnic s okrajovou a počáteční podmínkou, jako například rovnice vedení tepla, vlnová rovnice, Laplaceova rovnice a Helmholtzova rovnice.

Homogenní případ[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme jednorozměrnou rovnici vedení tepla:

 

 

 

 

(1)

Hraniční podmínka je homogenní, to jest

 

 

 

 

(2)

Pokusíme se hledat řešení které není identicky rovné nule, a které splňuje okrajovou podmínku ale s následující vlastností: u je součin, ve kterém je závislost u na x a t oddělena, to jest:

 

 

 

 

(3)

Substitucí u zpátky do rovnice a použitím součinového pravidla dostaneme

 

 

 

 

(4)

Protože pravá strana závisí pouze na x a levá strana pouze na t, obě strany jsou rovné nějaké konstantní hodnotě − λ. Tedy:

 

 

 

 

(5)

a

 

 

 

 

(6)

− λ zde je vlastní hodnota pro oba diferenciální operátory a T(t) a X(x) jsou odpovídající vlastní funkce.

Nyní ukážeme, že řešení pro X(x) pro hodnoty λ ≤ 0 nemůže existovat:

Předpokládejme, že λ < 0. Pak existují reálná čísla B, C taková, že

Z (2) dostaneme

 

 

 

 

(7)

a proto B = 0 = C, což implikuje, že u je identicky rovno 0.

Předpokládejme, že λ = 0. Pak existují reálná čísla B, C taková, že

Z (7) odvodíme stejným způsobem jako v 1, že u je identicky rovno 0.

Proto musí existovat případ, kdy λ > 0. Pak existují reálná čísla A, B, C taková, že

a

Z (7) dostaneme C = 0 a, které pro nějaké kladné celé číslo n,

Toto je řešení rovnice šíření tepla ve speciálním případě, kdy závislost u má speciální tvar (3).

Obecně suma řešení (1) které vyhovují hraniční podmínce (2) také vyhovuje (1) a (3). Tudíž úplné řešení může být daný jako

kde Dn jsou koeficienty určené počáteční podmínkou.

Je-li dána počáteční podmínka

můžeme dostat

Toto je sinová řada rozvoje funkce f(x). Znásobením obou stran a integrováním na [0,L] dává

Tato metoda vyžaduje, aby vlastní funkce x, zde , byly ortogonální a úplné. To je obecně zaručeno Sturm-Liouvilleovou teorií.

Nehomogenní případ[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že rovnice je nehomogenní

 

 

 

 

(8)

s okrajovou podmínkou stejnou jako (2).

Rozšíříme h(x,t), u(x,t) a f(x,t) na

 

 

 

 

(9)

 

 

 

 

(10)

 

 

 

 

(11)

kde hn(t) a bn můžeme vypočítat integrací, zatímco un(t) je třeba určit.

Substitujeme (9) a (10) zpátky na (8) a uvažováním ortogonality funkce sinus dostaneme

což jsou posloupnosti lineárních diferenciálních rovnic, které lze ihned řešit, například Laplaceovou transformací nebo Integrační faktor. Navíc můžeme dostat

Jestliže je okrajová podmínka nehomogenní, pak expansion (9) a (10) není povolený. Hledáme funkci v, která vyhovuje okrajové podmínce pouze a subtract na z u. Funkce u-v pak vyhovuje homogenní okrajové podmínce a lze ji řešt výše uvedenou metodou.

Separaci proměnných lze provádět i v ortogonální křivočaré souřadnicové soustavě, ale v detailech se liší od postupu v Kartézských souřadnicích. Například podmínka regularity nebo periodicity podmínka může určovat vlastní hodnoty místo okrajových podmínek. Viz např. sférické harmonické funkce.

Matice[editovat | editovat zdroj]

Maticový tvar separace proměnných je Kroneckerova suma.

Jako příklad uvažujme 2D diskrétní Laplacián na regulární mřížce:

kde a jsou 1D diskrétní Laplaciány ve směru x, resp. y a jsou identity vhodné velikosti. Podrobnější informace jsou v článku Kroneckerova suma diskrétních Laplaciánů.

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Separation of variables na anglické Wikipedii.

  • POLYANIN, D.. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Boca Raton : Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-299-9.  
  • Tyn Myint-U, Lokenath Debnath. Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. Boston, MA : [s.n.], 2007. Dostupné online. ISBN 978-0-8176-4393-5.  
  • TESCHL, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Svazek 140. Providence, RI : American Mathematical Society, 2012. (Graduate Studies in Mathematics). Dostupné online. ISBN 978-0-8218-8328-0.  

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace o separaci proměnných: