Obyčejná diferenciální rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Obyčejné diferenciální rovnice jsou matematické rovnice, které obsahují neznámou funkci jedné nezávislé proměnné a její derivace. Název „obyčejné“ se používá jako protiklad k termínu parciální diferenciální rovnice, ve kterých se vyskytuje více než jedna nezávislá proměnná.

Nejjednodušší třídou obyčejných diferenciálních rovnic jsou lineární diferenciální rovnice, které mají řešení, jež lze sčítat a násobit koeficienty. Řešení těchto rovnic lze obvykle zapsat v analytickém tvaru pomocí elementárních funkcí. Naproti tomu obecné obyčejné diferenciální rovnice nemají aditivní řešení, nejsou lineární, a jejich řešení je mnohem komplikovanější; často je není možné ani vyjádřit v analytickém tvaru pomocí elementárních funkcí. Někdy lze přesná a analytická řešení obyčejných diferenciálních rovnic nalézt ve tvaru řady nebo integrálu. Pro řešení těchto diferenciálních rovnic se při ručních výpočtech nebo na počítači často používají grafické nebo numerické metody, které řešení aproximují a mohou dávat užitečné informace, často dostačující při neexistenci přesných analytických řešení.

Pozadí[editovat | editovat zdroj]

Dráhu dělové střely lze popsat křivkou určenou obyčejnou diferenciální rovnicí, která je odvozena z druhého Newtonova zákona.

Obyčejné diferenciální rovnice se objevují v nejrůznějších souvislostech v matematice i dalších vědách (přírodních i společenských): Jestliže změny popisujeme matematicky, nejpřesnější popis používá diferenciály a derivace. Pokud vyjádříme vztahy mezi funkcemi, jejich diferenciály a derivacemi pomocí rovnic, dostaneme diferenciální rovnice popisující změnu, vývoj nebo dynamiku jevů. Určité veličiny jsou často definovány jako rychlost změny jiných veličin (časová derivace) nebo jejich gradienty (spády), a jejich vzájemné vztahy lze přirozeně popsat diferenciálními rovnicemi.

Zvláštní matematický obor zahrnuje geometrii a analytickou mechaniku. Vědecké obory zahrnují větší část fyziky a astronomie (nebeská mechanika), geologie (modelování počasí), chemie (dynamika reakcí)[1], biologie (infekční nemoci, genetické změny), ekologie a modelování populace (soutěžení populací), ekonomiku (vývoj kurzů akcií, úrokových sezeb a tržní rovnováha změn ceny).

Studiem diferenciálních rovnic se zabývalo mnoho matematiků, mezi jinými Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz, Bernoulliovi, Jacopo Riccati, Alexis Claude Clairaut, Jean le Rond d'Alembert a Leonhard Euler, kteří přispěli k rozvoji tohoto oboru.

Jednoduchých příkladem diferenciální rovnice je Newtonův druhý pohybový zákon – vztah mezi polohou x hmotného bodu, na který působí síla F, a časem t vede k diferenciální rovnici

pro pohyb hmotného bodu s konstantní hmotností m. Pokud F závisí na poloze x(t) částice v čase t, neznámá funkce x(t) se objevuje na obou stranách diferenciální rovnice, jak je zřejmé ze zápisu F(x(t)).[2][3][4][5]

Definice[editovat | editovat zdroj]

V následujícím textu je y závislá proměnná a x nezávislá proměnná, takže y = y(x) je neznámá funkce proměnné x. Různí autoři používají různé zápisy diferenciálu, podle toho, jaká notace nejlépe vyhovuje zadané úloze. Pro diferenciály se obvykle používá Leibnizova notace (dy/dx,d2y/dx2,...dny/dxn), zatímco pro provádění integrace je vhodnější Newtonova a Lagrangeova notace (y′,y′′, ... y(n)), kterou lze kompaktně zapsat derivace libovolného řádu.

Obecná definice obyčejné diferenciální rovnice[editovat | editovat zdroj]

Obyčejnou diferenciální rovnici řádu n lze obecně zapsat ve tvaru:[6]

kde je hledané funkce.

Pokud lze rovnici zapsat ve tvaru

pak říkáme, že je rovnice rozřešena vzhledem k nejvyšší derivaci[7][8].

Existují další klasifikace diferenciálních rovnic:

kde ai(x) a r(x) jsou spojité funkce v x.[9][10][11]
  • Nelineární je taková rovnice, která nemůže být zapsaná v tomto tvaru. Funkce r(x) se nazývá pravá strana a je z jejího tvaru vychází další důležitá klasifikace:[12][13]
  • Homogenní: Jestliže r(x) = 0 a následně jedno „automatické řešení“ je triviální řešení, y = 0. Řešení lineární homogenní rovnice je komplementární funkce, označovaná yc.
  • Nehomogenní: Jestliže r(x) ≠ 0. Přídavné řešení komplementární funkce je určitý integrál označovaný zde yp. Obecné řešení lineární rovnice lze vyjádřit jako y = yc + yp.

Soustava obyčejných diferenciálních rovnic[editovat | editovat zdroj]

Několik spojených diferenciálních rovnic vytváří soustavu rovnic. Jestliže y je vektor, jehož prvky jsou funkce; y(x) = [y1(x), y2(x),..., ym(x)] a F je vektorová funkce proměnné y a jejích derivací, pak

je explicitní soustava obyčejných diferenciálních rovnic řádu nebo dimenze m. Ve formě sloupcového vektoru:

Funkce obecně nemusí být lineární. V implicitním tvaru lze soustavu obyčejných diferenciálních rovnic zapsat takto:

kde 0 = (0, 0,... 0) je nulový vektor. V maticovém tvaru

Řešení[editovat | editovat zdroj]

Je-li dána diferenciální rovnice

Partikulární řešení je libovolná funkce u: I ⊂ ℝ → ℝ , jestliže má na I derivace až do řádu n a

Grafické znázornění partikulárního řešení se nazývá integrální křivka pro F.

Máme-li dvě řešení u: J ⊂ ℝ → ℝ a v: I ⊂ ℝ → ℝ, pak u se nazývá rozšířením v, jestliže IJ a

Řešení, které nemá žádné rozšíření, se nazývá maximální řešení. Řešení definované na celém ℝ se nazývá globální řešení.

Obecné řešení rovnice n-tého řádu obsahuje n nezávislých konstant.

Partikulární řešení lze získat z obecného řešení dosazením hodnot těchto konstant obvykle zvolených tak, aby byly splněny 'počáteční podmínky nebo hraniční podmínky'[14].

Singulární řešení je řešení, které nelze získat dosazením hodnot integračním konstantám v obecném řešení[15].

Teorie obyčejných diferenciálních rovnic[editovat | editovat zdroj]

Singulární řešení[editovat | editovat zdroj]

Teorie singulárních řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic byla předmětem výzkumu již od Leibnitzových dob, ale zvláštní pozornost jí byla věnována až od poloviny 19. století. Cennou, ale málo známou práci na toto téma napsal Houtain (1854). V roce 1873 se vůdčím duchem této teorie stal Jean Gaston Darboux, a svými geometrickými interpretacemi těchto řešení vytvořil obor, do něhož přispěli další matematici, především Felice Casorati a Arthur Cayley. Cayley vytvořil kolem roku 1872 teorii singulárních řešení diferenciálních rovnic první řádu, která byla okolo roku 1900 veřejně přijata.

Redukce na kvadratury[editovat | editovat zdroj]

Primitivní pokus o řešení diferenciálních rovnic představovala snaha o redukci na kvadratury. Stejně jako se algebraici 18. století pokoušeli nalézt metodu pro řešení algebraických rovnic n-tého stupně, matematici, kteří prováděli první práce na poli diferenciálních rovnic, věřili, že existuje obecná metoda pro integraci libovolné diferenciální rovnice. Ale Carl Friedrich Gauss v roce 1799 ukázal, že pokud se nepoužijí komplexní čísla, je tato metoda velmi omezená. Matematici se proto začali věnovat studiu funkcí, čímž vznikl nový a velmi plodný obor. Prvním, kdo si uvědomoval důležitost tohoto přístupu, byl Augustin Louis Cauchy. Pak není třeba si klást otázku, zda je možné řešení pomocí známých funkcí nebo jejich integrálů, ale zda daná diferenciální rovnice postačuje pro definici funkce nezávislé proměnné nebo proměnných, a pokud ano, jaké jsou její charakteristické vlastnosti.

Fuchsova teorie[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Frobeniova metoda.

Lazarus Fuchs svými dvěma monografiemi (Crelle, 1866, 1868) inspiroval nový přístup, který následně rozpracoval Thomé a Ferdinand Georg Frobenius. K teorii významně přispěl i Collet od roku 1869, i když svou metodu pro integraci nelineárních soustav popsal Bertrandovi již v roce 1868. Alfred Clebsch přispěl v roce 1873 teorií Abelovských integrálů. Protože je lze klasifikovat podle vlastnosti stěžejní křivky, která zůstává nezměněna při racionálních transformacích, Clebsch navrhl klasifikaci transcendentních funkcí definovaných diferenciálními rovnicemi podle invariantních vlastností odpovídajících povrchům při racionálních vzájemně jednoznačných transformacích.

Lieova teorie[editovat | editovat zdroj]

Na uspokojivější základ postavil teorii diferenciálních rovnic Sophus Lie. Ve své práci z roku 1870 ukázal, že starší teorie integrace lze sjednotit využitím grup nyní nazývaných jeho jménem Lieovy grupy, a že obyčejné diferenciální rovnice, které připouštějí stejné infinitezimální transformace mají srovnatelně obtížné integrace. Lie také zdůraznil význam kontaktních transformací.

K uznání Lieovy grupová teorie diferenciálních rovnic vedly dva důvody:

  • sjednocuje mnoho známých ad hoc metod pro řešení diferenciálních rovnic
  • poskytuje výkonné nové způsoby pro hledání řešení.

Lieova teorie má aplikace pro obyčejné i parciální diferenciální rovnice.[16]

Obecný přístup k řešení diferenciálních rovnic využívá vlastnosti symetrie diferenciálních rovnic, spojité infinitezimální transformace jednoho řešení na jiné (Lieova teorie). Spojitá teorie grup, Lieovy algebry a diferenciální geometrie se používají pro porozumění struktuře lineární a nelineární (částečné) diferenciální rovnice pro generování integrovatelných rovnic, pro nalezení jejich Laxových dvojic, rekurzivních operátorů, Bäcklundovy transformace a nakonec nalezení přesného analytického řešení diferenciální rovnice.

Metody využívající symetrie se byly uznány pro studium diferenciálních rovnic vznikajících v matematice, fyzice, technice a mnoha jiný disciplínách.

Sturmova–Liouvilleova teorie[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Sturm–Liouville teorie.

Sturmova–Liouvilleova teorie je teorií vlastních hodnot a vlastních funkcí lineárních operátorů definovaných pomocí homogenních lineárních rovnic druhého řádu a je užitečná pro analýzu určitých parciálních diferenciálních rovnic.

Existence a jednoznačnost řešení[editovat | editovat zdroj]

Několik matematických vět určuje podmínky existence a jednoznačnosti řešení problémů počáteční hodnoty pro obyčejné diferenciální rovnice, lokálně i globálně. Dvě hlavní věty jsou:

Věta Předpoklad Závěr
Peanova existenční věta F spojitá pouze lokální existence
Picardova–Lindelöfova věta F Lipschitzovsky spojité zobrazení lokální existence a jednoznačnost

což jsou obojí lokální výsledky.

Zjednodušená věta o lokální existenci a jednoznačnosti[editovat | editovat zdroj]

Věta může být jednoduše formulována následovně.[17] Pro rovnici a problém počáteční hodnoty:

jestliže F a ∂F/∂y jsou spojité v uzavřeném pravoúhelníku

v rovině x-y, kde a a b jsou reálná čísla (a, b ∈ ℝ) a × označuje kartézský součin, špičaté závorky znamenají uzavřený interval, pak existuje interval

pro nějaké h ∈ ℝ, na kterém lze nalézt řešení výše uvedené rovnice a problému počáteční hodnoty. Tj. existuje právě jedno řešení. Protože funkce F nemusí být lineární, tento vztah platí pro nelineární rovnice, které mají tvar F(x, y) a může být použito i na soustavy rovnic.

Globální jednoznačnost a maximální definiční obor řešení[editovat | editovat zdroj]

Když jsou splněny podmínky Picardovy–Lindelöfovy věty, pak lokální existenci a jednoznačnost lze rozšířit na globální výsledek. Přesněji:[18]

Pro každou počáteční podmínku (x0, y0) existuje jediný maximální (může být i nekonečný) otevřený interval

takový, že libovolné řešení, které vyhovuje této počáteční podmínce je restrikcí řešení, které vyhovuje této počáteční podmínce s definičním oborem Imax.

V případě, že , existují právě dvě možnosti

  • exploze v konečném čase:
  • zachování definičního oboru:

kde Ω je otevřená množina, na níž je F definována, a je její hranice.

Všimněte si, že maximální definiční obor řešení

  • je vždy interval (aby byl jednoznačný)
  • může být menší než ℝ
  • může záviset na zvláštní volbě (x0, y0).
Příklad

To znamená, že F(x, y) = y2, která je C1 a tedy Lipschitzovsky spojitá pro všechna y splňující Picardovu–Lindelöfovu větu.

Ani v tomto jednoduchém případě nemůže být maximální definiční obor řešení celé ℝ, protože řešení je

která má maximální definiční obor:

To jasně ukazuje, že maximální interval může záviset na počátečních podmínkách. Bylo by možné brát definiční obor y jako , ale to by vedlo na definiční obor, která není intervalem, takže opačná hranice než ta, která je daná počáteční podmínkou, by nebyla spojena s počáteční podmínkou a proto by jí nebyla jednoznačně určena.

Maximální definiční obor není ℝ, protože

která je jedním ze dvou možných případů podle výše uvedené věty.

Redukce řádu[editovat | editovat zdroj]

Diferenciální rovnici lze obvykle řešit snadněji, jestliže lze snížit její řád.

Redukce na soustavu prvního řádu[editovat | editovat zdroj]

Jakákoli diferenciální rovnice řádu n,

může být zapsána jako soustava n diferenciálních rovnic prvního řádu definováním nové rodiny neznámých funkcí

pro i = 1, 2,... n. n-rozměrná soustava diferenciálních rovnic prvního řádu je pak

nebo kompaktněji ve vektorovém vyjádření:

kde

Přehled přesných řešení[editovat | editovat zdroj]

Některé diferenciální rovnice mají řešení, které lze napsat v přesném a uzavřeném tvaru. Některé důležité třídy jsou uvedeny v této části.

V následující tabulce jsou P(x), Q(x), P(y), Q(y) a M(x,y), N(x,y) libovolné integrovatelné funkce x, y; b a c jsou dané reálné konstanty, a C1, C2,... jsou libovolné konstanty (obecně komplexní). Diferenciální rovnice jsou ve svém ekvivalentních a alternativních tvarech, které vedou k řešení pomocí integrace.

V integrálním řešení, λ a ε jsou nastrčené integrační proměnné (spojitá analogie indexů při sumaci) a notace ∫xF(λ)dλ znamená integrovat F(λ) vzhledem k λ, a po integraci provést substituci λ = x, bez přidávání konstant (explicitně uvedených).

Diferenciální rovnice Metoda řešení Obecné řešení
Separabilní rovnice
Prvního řádu, separabilní v x a y (obecný případ, speciální případy viz níže)[19]

Separace proměnných (vydělíme P2Q1).
Prvního řádu, separabilní v x[17]

Přímá integrace.
Prvního řádu, autonomní, separabilní v y[17]

Separace proměnných (vydělíme F).
Prvního řádu, separabilní v x a y[17]

Integrovat.
Obecná rovnice prvního řádu
Prvního řádu, homogenní[17]

Substituce y = ux, pak řešíme separací proměnných u a x.
Prvního řádu, separabilní[19]

Separace proměnných (vydělit xy).

Jestliže N = M, pak řešení je xy = C.

Exaktní diferenciální rovnice prvního řádu[17]

kde

Zintegrovat.

kde Y(y) a X(x) jsou funkce, které jsou ve vzorci místo integračních konstant, které vyjádříme tak, aby výsledná funkce F(x, y) vyhovovala počáteční rovnici.

Diferenciální rovnice prvního řádu, která není exaktní[17]

kde

Integrační faktor μ(x, y) vyhovující vztahu

Jestliže μ(x, y) je možné nalézt:

Obecná rovnice druhého řádu
Druhého řádu, autonomní[20]

Znásobíme rovnici výrazem 2dy/dx, provedeme substituci , pak dvakrát integrujeme.
Lineární rovnice (až po řád n)
Prvního řádu, lineární, nehomogenní, funkce koeficienty[17]

Integrační faktor: .
Druhého řádu, lineární, nehomogenní s konstantními koeficienty[21]

Komplementární funkce yc: předpokládáme yc = eαx, provedeme substituci a řešíme polynom v α, nalezneme lineárně nezávislé funkce .

Určitý integrál yp: obecně metodou variace konstant; pro velmi jednoduché r(x) můžeme řešení odhadnout[17].

Jestliže b2 > 4c, pak:

Jestliže b2 = 4c, pak:

Jestliže b2 < 4c, pak:

n-tého řádu, lineární, nehomogenní, s konstantními koeficienty[21]

Komplementární funkce yc: předpokládáme yc = eαx, provedeme substituci a řešíme polynom v α, nalezneme lineárně nezávislé funkce .

Určitý integrál yp: obecně metodou variace konstant, i když pro velmi jednoduché r(x) můžeme řešení odhadnout[17].

Protože αj jsou řešení polynomu stupně n: , pak:

pro αj vesměs různá,

pro každý kj-násobný kořen αj

pro některé αj komplexní, pak položíme α = χj + iγj a pomocí Eulerova vzorce lze některé termy v předchozích výsledcích zapsat ve tvaru

kde ϕj je libovolná konstanta (fázový posuv).

Software pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ordinary differential equation na anglické Wikipedii.

  • HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Physics. 3rd. vyd. New York : Wiley, 1977. ISBN 0-471-71716-9.  
  • HARPER, Charlie. Introduction to Mathematical Physics. New Jersey : Prentice-Hall, 1976. ISBN 0-13-487538-9.  
  • KREYSZIG, Erwin. Advanced Engineering Mathematics. 3rd. vyd. New York : Wiley, 1972. ISBN 0-471-50728-8.  
  • POLYANIN, D.; ZAITSEV, V. F.. Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations. 2. vyd. Boca Raton : Chapman & Hall/CRC Press, 2003. ISBN 1-58488-297-2.  
  • SIMMONS, George F.. Differential Equations with Applications and Historical Notes. New York : McGraw-Hill, 1972.  
  • TIPLER, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Extended version. 3rd. vyd. New York : Worth Publishers, 1991. ISBN 0-87901-432-6.  
  • BOSCAIN, Ugo; CHITOUR, Yacine. Introduction à l'automatique. [s.l.] : [s.n.], 2011. Dostupné online. (francouzsky)  
  • LAWRENCE, Dresner. Applications of Lie's Theory of Ordinary and Partial Differential Equations. Bristol and Philadelphia : Institute of Physics Publishing, 1999.  
  1. Mathematics for Chemists, D.M. Hirst, Macmillan Press, 1976, (Žádný ISBN) SBN: 333-18172-7
  2. Kreyszig 1972, strana 64
  3. Simmons 1972, strana 1-2
  4. Halliday 1977, strana 78
  5. Tipler 1991, strana 78–83
  6. Simmons 1972, strana 3
  7. Harper 1976, strana 127
  8. Kreyszig 1972, strana 2
  9. Harper 1976, strana 127
  10. Kreyszig 1972, strana 24
  11. Simmons 1972, strana 47
  12. Harper 1976, strana 128
  13. Kreyszig 1972, strana 24
  14. Kreyszig 1972, strana 78
  15. Kreyszig 1972, strana 4
  16. Lawrence 1999, strana 9
  17. a b c d e f g h i j Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1
  18. Boscain; Chitour 2011, p. 21
  19. a b Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
  20. Further Elementary Analysis, R. Porter, G.Bell & Sons (London), 1978, ISBN 0-7135-1594-5
  21. a b Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3

Literatura[editovat | editovat zdroj]

Literatura v češtině:

  • KURZWEIL, Jaroslav. Obyčejné diferenciální rovnice. Praha : SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1978. Dostupné online.  

Literatura v angličtině:

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]