Laplaceova transformace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Laplaceova transformace v matematice označuje jednu ze základních integrálních transformací. Používá se k řešení některých obyčejných diferenciálních rovnic, zejména těch, jež se objevují při analýze chování elektrických obvodů, harmonických oscilátorů a optických zařízení. V technice se s ní setkáme při studiu vlastností systémů spojitě pracujících v čase, kde je protějškem Z-transformace pro diskrétní systémy.

Užitečnost Laplaceovy transformace spočívá v tom, že převádí funkce reálné proměnné na funkce komplexní proměnné způsobem, při němž se mnohé složité vztahy mezi původními funkcemi radikálně zjednoduší.

Laplaceovu transformaci odvodil roku 1812 francouzský matematik Pierre-Simon de Laplace. Již dříve (1737) však tuto transformaci použil Leonhard Euler při řešení jistých obyčejných diferenciálních rovnic.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Laplaceova transformace[editovat | editovat zdroj]

Nechť je funkce f(t) spojitá (nebo alespoň po částech spojitá) a definovaná na intervalu <0,∞). Pak Laplaceova transformace L{f(t)} funkce f(t) je definována integrálním vztahem:

kde s je komplexní nezávisle proměnná. Obraz funkce f(t) při Laplaceově transformaci je funkce jedné komplexní proměnné s, často ji značíme F(s). Definičním oborem F je oblast konvergence integrálu (viz níže).

Funkci f(t) nazýváme originálem a funkci F(s) obrazem funkce f(t).

Inverzní Laplaceova transformace[editovat | editovat zdroj]

Inverzní Laplaceova transformace je dána vztahem:

,

kde c je libovolné reálné číslo ležící v oblasti konvergence F (pak celá přímka Re(s)=c, přes niž se integruje, leží v oblasti konvergence (viz níže)).

Vlastnosti Laplaceovy transformace[editovat | editovat zdroj]

Existence[editovat | editovat zdroj]

I v případě, že funkce f(t) je na celém intervalu <0,∞) spojitá a definovaná, nemusí její obraz existovat. Jestliže totiž má mít definiční integrál konečnou hodnotu, musí splňovat kritérium konvergence .

Například funkce tuto podmínku nesplňuje, a proto její obraz neexistuje.

Oblast konvergence[editovat | editovat zdroj]

Pro danou funkci f se množina hodnot s, pro něž integrál v Laplaceově transformaci konverguje, nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže integrál konverguje pro f v bodě s0, pak konverguje v každém bodě s, pro který Re(s) > Re(s0). Oblast konvergence Laplaceovy transformace je tedy {s; Re(s) > R}, kde R je dáno chováním funkce f(t) pro t → ∞.

Vztah k inverzní Laplaceově transformaci[editovat | editovat zdroj]

Pro každou funkci f takovou, že L{f} existuje, platí pro skoro všechna t (Lerchova věta):

Vztah k derivaci[editovat | editovat zdroj]

Výhodou použití Laplaceovy transformace pro počítání diferenciálních rovnic je její vztah k derivaci:

Vzorec lze odvodit pomocí integrace per partes a platí právě tehdy, když jednotlivé derivace existují. Tento vztah umožňuje přímé začlenění počátečních podmínek do výpočtu řešení diferenciální rovnice.

Základní vlastnosti Laplaceovy transformace[editovat | editovat zdroj]

Pro dané funkce f(t) a g(t), a jejich příslušné Laplaceovy transformace F(s) a G(s) následující tabulka shrnuje vlastnosti Laplaceovy transformace:

Vlastnosti jednostranné Laplaceovy transformace
Vzor Obraz Komentář
Linearita Obrazem lineární kombinace vzorů je lineární kombinace obrazů s týmiž koeficienty. Odvodit lze na základě definičního vztahu. Této vlastnosti se využívá při odvozování goniometrických a hyperbolických funkcí.
Derivování podle parametru
Derivování originálu Získá se z integrování per partes.
Integrování originálu je Heavisideova funkce.
Podobnost a>0
Tlumení
Konvoluce
Posunutí (věta o translaci) Posunutí proměnné t v originále o konstantu a>0 se projeví vynásobením obrazu výrazem

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]