Konvoluce

Konvoluce je matematický operátor zpracovávající dvě funkce.

Spojitá konvoluce (značí se hvězdičkou) jednorozměrných funkcí $f(x)$ a $g(x)$ je definována vztahem:

$(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\alpha )g(x-\alpha )\,\mathrm {d} \alpha$

Funkci $g(x)$ se říká konvoluční jádro. Hodnota konvoluce funkce $f$ s jádrem $g$ v bodě $x$ je integrál ze součinu funkce $f$ s otočenou funkcí konvolučního jádra (integrační proměnná $\alpha$ má v argumentu konvolučního jádra $g(x-\alpha )$ záporné znaménko) posunutou do bodu $x$ .

Pokud jde o konvoluci při zpracovávání obrazu, je funkce $f(x)$ většinou zkoumaný obrázek a funkce $g(x)$ nějaký filtr.

Vlastnosti konvoluce

Komutativní

f*g=g*f\,

Asociativní

f*(g*h)=(f*g)*h\,

Distributivní

f*(g+h)=(f*g)+(f*h)\,

Existence jednotky

f*\delta =\delta *f=f\,

kde δ je tzv. Diracova delta funkce (distribuce):

\delta (x)=0,x\neq 0

a $\delta (0):=+\infty$ . Integrál Delta funkce je roven 1:

\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,\mathrm {d} x=1.

Jde tedy o puls trvající nekonečně krátkou dobu.

Asociativita při násobení skalárem

a(f*g)=(af)*g=f*(ag)\,

pro všechna reálná (nebo komplexní) čísla $a$ .

Konvoluční teorém

{\mathcal {F}}(f*g)=\left[{\mathcal {F}}(f)\right]\cdot \left[{\mathcal {F}}(g)\right]=F\cdot G

kde ${\mathcal {F}}(f)\,$ značí Fourierovu transformaci $f\,$

{\mathcal {F}}\left[f(x)\right]\equiv F(k)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\exp(-2\pi ikx)\,\mathrm {d} x

Dk.:

F(k)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\exp(-2\pi ikx)\,\mathrm {d} x

G(k)=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)\exp(-2\pi ikx)\,\mathrm {d} x

h(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x

H(k)=\int _{-\infty }^{\infty }h(z)\exp(-2\pi ikz)\,\mathrm {d} z=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g(z-x)dx\right]\exp(-2\pi ikz)\,\mathrm {d} z=

=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\left[\int _{-\infty }^{\infty }g(z-x)\exp(-2\pi ikz)\,\mathrm {d} z\right]\mathrm {d} x=

substituce: $y=z-x\,$ a tedy $\mathrm {d} y=\mathrm {d} z\,$

=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\left[\int _{-\infty }^{\infty }g(y)\exp(-2\pi ik(y+x))\,\mathrm {d} y\right]\mathrm {d} x=

=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\exp(-2\pi ikx)\,\mathrm {d} x\cdot \int _{-\infty }^{\infty }g(y)\exp(-2\pi iky)\,\mathrm {d} y=F(k)\cdot G(k)

Diskrétní konvoluce

(f*g)_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i=-\infty }^{\infty }f_{i}\cdot g_{k-i}

=\sum _{i=-\infty }^{\infty }f_{k-i}\cdot g_{i}

Příklad

V případě dvou konečných řad se samozřejmě nesčítá od −∞ do +∞, ale pouze přes existující prvky. (Případně si lze na pozici neexistujících prvků řady představit nuly.) Výsledná řada je o jeden prvek kratší než je součet délek konvoluovaných řad.

Konvoluce dvou řad:

(a, b, c, d) * (e, f, g) =
= (a*e) (a*f) (a*g)
        (b*e) (b*f) (b*g)
              (c*e) (c*f) (c*g) 
                    (d*e) (d*f) (d*g)
  -----------------------------------
  následuje sečtení pod sebou

Výsledek je stejný, jakoby se jednalo o součin dvou polynomů. (Koeficienty násobených polynomů by představovaly dvě konvoluované řady, koeficienty součinu polynomů by odpovídaly výsledku konvoluce.)

Konkrétní čísla:

(1, 2, -2, -1) * (1, -1, 2) =
= 1 -1  2
     2 -2  4
       -2  2 -4
          -1  1 -2
 ------------------
 (1, 1,-2, 5,-3,-2)

Jinou možností výpočtu je použití maticového násobení.

${\begin{bmatrix}a&b&c&d\end{bmatrix}}*{\begin{bmatrix}e&f&g\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b&c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e&f&g&0&0&0\\0&e&f&g&0&0\\0&0&e&f&g&0\\0&0&0&e&f&g\end{bmatrix}}$

Konkrétní čísla:

${\begin{bmatrix}1&2&-2&-1\end{bmatrix}}*{\begin{bmatrix}1&-1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&-2&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-1&2&0&0&0\\0&1&-1&2&0&0\\0&0&1&-1&2&0\\0&0&0&1&-1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&-2&5&-3&-2\end{bmatrix}}$

Využití v počítačové grafice

Konvoluce se často používá při algoritmech zpracování dvourozměrného diskrétního obrazu v počítačové grafice. Vzorec diskrétní konvoluce má potom tvar:

$(f*h)(x,y)=\sum _{i=-k}^{k}\sum _{j=-k}^{k}f(x-i,y-j)\cdot h(i,j)$

V případě diskrétní konvoluce lze jádro chápat jako tabulku (konvoluční maska), kterou položíme na příslušné místo obrazu. Každý pixel překrytý tabulkou vynásobíme koeficientem v příslušné buňce a provedeme součet všech těchto hodnot. Tím dostaneme jeden nový pixel.

Například mějme konvoluční masku o rozměru 3×3 (bude překryto 9 pixelů) a všechny buňky mají koeficient 0,111 (1/9). Nový pixel, který vypočteme po aplikaci na jedno místo v původním obraze, tedy bude průměrem z devíti okolních pixelů. Neudělali jsme totiž nic jiného, než že jsme sečetli hodnoty 9 pixelů a vydělili 9. Pokud aplikujeme konvoluci na celý obraz, pak dostaneme rozostřený obraz. Pokud použijeme větší konvoluční masku 5×5 s koeficienty 1/25, pak bude obraz rozostřen více.

Koeficienty uvnitř konvoluční masky udávají vliv hodnoty pixelu pod nimi. Lze tak nadefinovat velké množství operací, např. derivace obrazu (u diskrétního obrazu mluvíme o tzv. odhadu derivace), tedy zvýraznění hran (viz detekce hran).

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu konvoluce na Wikimedia Commons