Věta o translaci

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Věta o translaci (anglicky shift theorem) je matematická věta o polynomiálních diferenciálních operátorech (D-operátorech) a exponenciálních funkcích. V určitých případech umožňuje vytýkat exponenciální funkce před D-operátor.

Tvrzení[editovat | editovat zdroj]

Věta o translaci říká, že jestliže P(D) je polynomiální D-operátor, pak pro libovolnou dostatečně derivovatelnou funkci y platí

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Pro důkaz použijeme matematickou indukci. Stačí dokázat pouze speciální případ

protože obecný výsledek z něho vyplývá díky linearitě D-operátorů.

Tvrzení je zřejmě pravdivé pro n = 1, protože

Pro důkaz matematickou indukcí budeme předpokládat, že tvrzení je pravdivé pro n = k, tj.

Pak

Což uzavírá důkaz.

Další použití[editovat | editovat zdroj]

Větu o translaci lze použít i pro inverzní operátory:

Existuje podobná verze věty o translaci pro Laplaceovy transformace ():

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Shift theorem na anglické Wikipedii.