Heavisideova funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
H1(x)
H1/2(x)

Heavisideova funkce (také jednotkový skok) je nespojitá funkce, jejíž hodnota je nulová pro zápornou hodnotu argumentu a rovna jedné pro kladnou hodnotu argumentu. Hodnota funkce pro nulový argument není podstatná a proto je různými autory definována odlišně (viz níže).

Často se používá v teorii řízení a při zpracování signálu, kde slouží k reprezentaci jednorázové změny signálu. Pojmenována byla po anglickém učenci Oliveru Heavisideovi.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Heavisidova funkce (s parametrem p) se definuje předpisem:

,

kde 0 ≤ p ≤ 1 je reálné číslo určující hodnotu funkce v bodě 0 (platí ).

Index p je většinou volen pevně a v zápise se vynechává. Heavisidova funkce se potom značí pouze H(x).

Hodnota v nule[editovat | editovat zdroj]

Parametr z definice funkce se nejčastěji volí jako 0, 1/2 nebo 1. Pro hodnotu 1/2 svědčí symetrie výsledné funkce a fakt, že hodnota zpětné transformace Fourierova obrazu funkce v bodech nespojitosti je aritmetický průměr limit zleva a zprava. Důvodem jiné volby může být praktičnost při jistých způsobech použití. V mnoha případech na hodnotě v nule vůbec nezáleží, např. integrujeme-li složený výraz s touto funkcí, neboť Lebesgueova míra množiny je nulová.

Nastavíme-li , můžeme definovat funkci pomocí znaménkové funkce (signum):

Pro případ, kdy nebo můžeme též chápat Heavisideovu funkci takto: respektive kde značí charakteristickou funkci množiny .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Mezi jednotkovým skokem a Diracovou funkcí existuje vztah, který lze zapsat jako

Derivací Heavisideovy funkce je tedy Diracova delta funkce, primitivní funkcí je tzv. náběhová funkce.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]